dx を変数として扱える理由

質問

高校の数学では、微分を次のように習いました。
y=f(x)　...f(x)はxの関数
yをxで微分することを次のように書く。
dy/dx=df(x)/dx

例えば　y=f(x)=x^2+3x+4 なら
dy/dx=2x+3

高校の授業で数学の先生の漏らした言葉に、
dx は、ひとつの変数と扱って計算してよい。

とすると

dy=(2x+3)dx と書ける。

ここで積分の魔法をかけると

∫dy=∫(2x+3)dx

y＋A=x^2+3x＋B　（A,Bは定数）

なんと、これはA,Bを　B-A=4とすれば
最初のf(x)と一致してます。

このようなめちゃくちゃな話をそのまま信じるのも
あれなので、こんな計算が許される理由を教えてください。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

dy/dxとか、∫f(x)dx とかいう表記は、ライプニッツという人が考えたものなんですが、実際、不思議なほどよくできてますね。

dxとかdyという単体の記号が何を表わすのかというのは、いろんな解釈の仕方があって、まあ、数学の世界で一番よく使われているのは、大学で習う、微分幾何というものでの定義です。普通は、大学３年くらいで習うでしょうかね。（もしかしたら理学系じゃないと習わないかも）
実は、その前に大学１年くらいで、全微分っていうのを習うはずで、そのときには、dxなどの単体の記号が必然的にでてくるんですけど、そのときには、たいてい、その意味するところをちゃんとやらないまま、なんとなくで済ます場合が多いです。
というわけで、大学３年になるまで待って、としかいいようがないかな。

ただ、物理や工学の人なら、そんなことを気にせずに、ばんばん、そういう計算をやりますし、物理や工学の世界で出てくるような普通の世界の問題ならば、それで実際何も問題ないです。

ただ、とりあえず、そこに書いてあること自体は、微積分の基本定理（微分と積分が互いに逆演算である）そのものですね。
dy/dx=2x+3
の両辺をxで積分して
∫(dy/dx)dx = ∫(2x+3)dx
で、左辺をyで置換積分した、と言うことなので、高校範囲でも理由は説明できますね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
数学は美しくできているので、
理解せずにdxを変数として
道具として使うというのは
論理の飛躍があり
自分は美しくなかったなぁ・・・と反省しております。

学生時代は、確率、行列、オレレーションズリサーチの
整数問題がほとんどで、微積分からはかなり離れた
世界にいました。

回答No.3

arrysthmia

高校教程では、微分積分そのものが最初から魔法でしかないのだから、
そのような説明になってしまうのは、しかたがない。

今の標準的な大学教程でも、微積分の基礎はεδ論法に基づくから、
魔法が、タネのある手品に替わるだけだ。

dx を変数として扱える理由を、ライプニッツ流で素直に理解したいなら、
超準解析に基づく微積分の基礎づけが望ましい。

参考：　http://www.junkudo.co.jp/detail2.jsp?ID=0191603324
絶版なので、ぜひ図書館で。

お礼

ご回答、および書籍の紹介をありがとうございます。
多分、市町村の図書館では無いなと想っていますが、
大学の図書館は在籍中の学生にしか本貸さないですよね？

回答No.2

KI401

dxをΔxの極限と考えればその話も「信じ」やすいんじゃない？

例えばdy/dxはΔy/Δxの極限。
微分方程式の変数分離形: f(y)dy = g(x)dx は、
f(y)Δy = g(x)Δx の極限だ。
適当な区間で和を取れば
　Σf(y)Δy = Σg(x)Δx
で区分求積の形なので、極限を考えて∫f(y)dy = ∫f(x)dx

上に書いたのはあくまで概略だから、きちんと数学的に同じことを言うなら、
x(t),y(t)みたいにtの関数にして
　Δx→dx (Δt→0)
って計算してみるといいんじゃないかな。

そもそも微分も積分も極限で定義されていて、dxなんてのは
それを表すために都合が良いただの「記法」にすぎないんだから、
色々極限考えるときにも都合良く使ってしまえっ、ってことだわな。
あんまり「記法」に囚われない方が良いかと思われ。

# しかし"積分の魔法をかける"とはまたひどい教え方だな。
# 完全に「オマジナイ」か……
# ま、高校数学の段階ならそれでもいいって考えなんだろうなぁ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
高校ではd/dxをxで微分の演算子のように説明するため、
dxを変数と見てよいと言い直されると、話がちがうじゃんか
という話になっているように想います。
偏部分の∂xと、普通の微分のdxは、何が本質的に違うの？
という疑問を持ってる人もいるのではないでしょうか。
私もその組です。