二次関数について教えてください

質問

以下の問題を解説して頂けないでしょうか？

グラフが次の条件を満たす二次関数を求めよ
上に凸で、頂点がy=x上にあり、二点(1,1)(2,2)を通る。

頂点の値がy=xなので、y=a(x-p)+p
で、上に凸なのでa<0ですよね。

で、y=a(x-p)+pに(1,1)(2,2)を代入するまでは分かるのですが・・・。
解説にはこうあります。
(1,1)を通るから、1=a(1-p)^2+p
よって(1-p){a(1-p)-1}=0---(1)　　※なぜこの式に変形するのか分かりません。
同様に(2,2)を代入した場合
(2-p){a(2-p)-1}=0---(2)

(1)より　p=1のとき(2)に代入してa=2、、、※なぜ(1)のときのp=1を(2)に代入できるのか分かりません。
(2)より　p=2のとき(1)に代入してa=-1

a<0だから　a=-1だけ適する。

p≠1かつp≠2のとき
(1)よりa=1/1-p
(2)よりa=1/2-p

このようなaは存在しないので、y=-(x-2)^2+2

さっぱりです。どうかよろしくお願いします。

回答No.4

believe126 · ベストアンサー

No.3です．
連立方程式をさらに変形すると，

(1-p){a(1-p)-1} = 0　…(i)
(2-p){a(2-p)-1} = 0　…(ii)

となります．
(i)より，
p=1 または a(1-p)=1
(ii)
p=2 または a(2-p)=1
となるのですが，
(i)と(ii)を同時に満たさなくてはならないので，

１)　p=1 かつ p=2
２)　p=1 かつ a(2-p)=1
３)　a(1-p)=1 かつ p=2
４)　a(1-p)=1 かつ a(2-p)=1

のいづれかが成り立ちます．

１)はありえません．
２)からは a=1 が求まりますが，a<0 を満たさないので不適です．
３)からは a=-1 が求まり，これは答えになります．
４)を満たすようなpは存在しません．

以上より，p=2, a=-1 を最初においた式
y=a(x-p)^2+p
に代入すればよいことになります．

こちらの方が，すっきりと見えませんか？

解説では
１)は省略
２)と ３)は同様の計算
４)はp≠1, p≠2なので，
(1-p){a(1-p)-1} = 0　の両辺を p-1 で割り，a(1-p)=1
(2-p){a(2-p)-1} = 0　の両辺を p-2 で割り，a(2-p)=1
としています．
すこしわかりにくいですが，解説は上に述べたようなことを考えて書かれたものではないでしょうか？

ちなみに，(1,1),(2,2)はともにy=x上の点ということにはお気づきですか？
２) ３) ではaとpを求めることが出来るのに，
４) では求めることが出来ないというのは，
(1,1),(2,2)以外の頂点(p,p)をもつことはありえない，
つまり，(1,1),(2,2)のどちらかが頂点だということになります．
これは，２次関数と直線の交点は高々２個であることからもわかります．
これに気付けば，
(1)　y=a(x-1)+1に(2,2)を代入してaを求め，a<0 か否かを判断
(2)　y=a(x-2)+2に(1,1)を代入してaを求め，a<0 か否かを判断
という２つの操作で求めることが出来ますね．

補足

ありがとうございました。
よく分かりました！感謝です。

回答No.3

believe126

与えられた条件から
y=a(x-p)^2+p (ただし a<0)
とおきます．これが(1,1),(2,2)を通るので，次の連立方程式が成立します．
(後の解説を簡単にするため，整理した形で書きます.)

a(1-p)^2 = 1-p　…(i)
a(2-p)^2 = 2-p　…(ii)

aとpに関する２つの式が作れたので，aとpの２文字を求めることが出来ます.
そこで，
(i)の両辺を(1-p)で，
(ii)の両辺を(2-p)で割れば，aについて簡単になりそうだと考えます.
ただし，0で割ることは出来ないので，p=1とp=2の場合を別に考えなくてはなりません.

p=1のとき
式(i)にp=1を代入すると，0=0となります.
式(ii)にp=1を代入すると，a(2-1)^2=2-1 より，a=1が求まりますが，
これは，a<0に反するので適しません.

p≠1のとき
式(i)より，a=1/(1-p) となります．これを式(ii)に代入すれば，pが求まるわけです.
ただ，そのまま代入すると式が煩雑になるので，先に式(ii)を整理してみます.
　p≠2のとき
　両辺を(2-p)^2で割れるので，
　a=1/(2-p)
　が得られます．よって，
　1/(1-p)=1/(2-p)
　となるのですが，このような式を満たすpは存在しません.

　p=2のとき
　pを求めようとしてはじめた場合分けですが，p=2と定まってしまいました.
　あとはaを求めるだけです.そこで，先ほど求めた式にp=2を代入します.
　つまり，
　a=1/(1-2)=-1

よって，式(i)と式(ii)を満たすのは，
a=-1
p=2
の場合ということがわかりました.
これを最初においた式
y=a(x-p)^2+p
に代入すれば答えが得られます.

＞なぜ(1)のときのp=1を(2)に代入できるのか分かりません。
とありますが，以上のように，連立方程式を解いていたに過ぎません.
ただ，以上の求め方だと，解説に載せるには煩雑だと考えたのでしょう.

そこで，
＞なぜこの式に変形するのか分かりません。
と書いてある部分で式変形をしているのです．
長くなったので，こちらの疑問についてはあらためて回答しようと思います.

回答No.2

bgm38489

この解答は、(1)式と(2)式によって、ｐの取り得る値を限定しています。p=1は、(1)がゼロとなるときの候補。それは、(2)でも成り立ちます。同じく、p=2は…それは(1)でも…
とはいえ、(1,1),(2,2)を代入して、普通に連立方程式を解けばよいでしょう。わざわざ難しくしているに過ぎません(と思う)。
もっとハイレベルな問題だと、この考え方でいかなければ通用しないのかな？

補足

式を解いているだけなのですね。
それを念頭においてやってみるとよく分かりました。
ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_u

>さっぱりです。どうかよろしくお願いします。

連立方程式を解いているだけです。

普通に 1 = a(1-p)^2 + p を a = (1-p)/{(1-p)^2} と変形して、
p = 1 かどうか場合に分けて解けばよいでしょう。

補足

よく分かりました。
ありがとうございます。