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数学IAの2次関数について
「2次関数y=-4x二乗+4(a-1)x-2a二乗のグラフの頂点はある放物線上にある。その放物線の式を求めよ。」 という問題に関して、質問があるのですが、 この2次関数のグラフの頂点の座標は (2分のa-1 , -a二乗-2a+1) X=2分のa-1 , Y=-a二乗-2a+1とおいて、aを消去すると Y=-(2X+1)二乗-2(2X+1)+1 =-4X二乗-8X-2 よって、求める放物線の式は Y=-4X二乗-8X-2 と解説には書いてありました。 でも、Y=-(2X+1)二乗-2(2X+1)+1 の箇所がよくわからなかったんです。 そもそも、この式はどの式を元にしているのでしょうか? そして、何を代入しているのでしょうか? あと、なぜaを消去するのでしょうか? 数学初心者ですが、よろしくお願い致します。
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2次関数の頂点を求めるには平方完成という操作を行います。 簡単に言えば、何かの2乗の式を作ることです。 y=-4x二乗+4(a-1)x-2a ←平方完成をすると… =-4{x-(a-1)/2}^2-a^2-2a+1 となります。 よって頂点の座標は((a-1)/2,-a^2-2a+1)です。 この座標はaの値によって位置が変わり、特定の放物線の上を移動します。 その特定の放物線にはx座標が(a-1)/2、y座標が-a^2-2a+1の関係があるので、放物線上の任意の点を(x,y)で表すと (x,y)=((a-1)/2,-a^2-2a+1)です。 ここで、x=(a-1)/2、y=-a^2-2a+1という2本の式ができます。 1本目の式を変形するとa=2x+1という式ができるので、これを2本目の式に代入するとy=-4x^2-8x-2となります。 つまり、放物線上の点のx座標とy座標の間にはy=-4x^2-8x-2の関係があるということです。
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- fukuda-h
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問題の範囲は 数IIの軌跡と方程式です 頂点を(X,Y)とおいてこのXとYの関係式を求めようという問題です。 X=(a-1)/2・・・(1) Y=-a^2-2a+1 ・・・(2)からXYだけの関係を求めようとすると(1)を利用してaを消去しますね (1)からa=2X+1を(2)へ代入したわけです 軌跡の問題は軌跡を描く点を(X,Y)とおいてこのXとYの関係式を求めようという問題です。
- nero199
- ベストアンサー率2% (1/34)
頂点のx、y座標が(X,Y)=((a-1)÷2, -a^2-2a+1)なので X=(a-1)÷2 Y=-a^2-2+1 です。そしてa=2x+1となりこれをy=のaに代入するんですよ。 なぜaを消去するのかは、この問題では前提がXとYの関数なので放物線を求める際XとYで表すためにaをけすのですよ。
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