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∫log3xdx の解き方
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#1です。 log_[3] x =log_[e] x /log_e 3 ですから A=1/log_e 3とおけば, logを以降自然対数として ∫log_[3] x dx=A∫log(x)dx と単なる自然対数の不定積分になります。 この積分は#3さんがA#3で書いておられるように 部分積分で積分する方法が、どこの参考書でも載っている方法です。 つまり、 ∫log(x)dx=∫1*log(x)dx =x*log(x)-∫x*(log(x))' dx =x*log(x)-∫x*(1/x)dx =x*log(x)-∫1 dx =xlog(x)-x+Co (Coは積分定数) =x{log(x)-1}+Co =x{log(x)-log(e)}+Co =x log(x/e) +Co (eは自然対数の底、ネイピア数) 従って、Aを掛けて, 積分定数は新たにCと置き換えて ∫log_[3] x dx=A∫log(x)dx =(x*log(x/e)/log_[e](3)+C =x log_[3](x/e) +C (eは自然対数の底、ネイピア数) となります。 なお 結果は、(積分定数を除いて)A#3の結果にも等しく、 また =x log_[3](x)-x log_[3](e) +C とも書けます。
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- oobdoo
- ベストアンサー率46% (13/28)
積分定数は略します。 底の変換公式より、 log_[3]x=log_[e]x/log_[e]3 なので、 ∫log_[3]xdx=∫(log_[e]x/log_[e]3)dx=(∫log_[e]xdx)/log_[e]3 です。 ∫log_[e]xdxは部分積分を用いて、 ∫log_[e]xdx=x*log_[e]x-∫x*(1/x)dx=x*log_[e]x-∫dx=x*log_[e]x-x と求められますので、 ∫log_[3]xdx=(x*log_[e]x-x)/log_[e]3=x*log_[3]x-(x/log_[e]3) となります。
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
logxをeを底とする対数(自然対数)とすると、部分積分を活用して ∫logxdx=xlogx-x+C (Cは積分定数) です。問題は底を3からeに変換しておく必要があります。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
被積分関数の対数について >log3x の対数の底が何で、真数が何か、この書き方では分かりません。 log_[3] x (底が3で真数がx) log_[e] (3x) (底がeで真数が3x) のどちらですか?
お礼
不備があったようで、申し訳ありません。 log_[3] x (底が3で真数がx)の方です。 なにとぞ、よろしくお願い致します。
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お礼
参考書を見ても、途中式の省略が多かったため、 理解できませんでしたが、お陰様でようやく理解できました。 ご丁寧な説明、本当にありがとうございました。 #2、#3の方も、ありがとうございます。