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∫0から1xdxの計算方法(積分)
次のような式があり、積分されているのですが、 ∫0から1xdx=[1/2x^2]0から1=1/2 ∫0から1xdx⇒[1/2x^2]0から1にする計算方法が分かりません。なぜ1/2?? 基礎中の基礎だと思いますがご回答お願いします。
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定積分は、不定積分に積分区間の両端を代入したもの、 不定積分は、微分の逆操作ですから、 質問の内容は、 (d/dx)(1/2)x~2 = x の左辺の係数 1/2 は どこから来たのか?ということですね。 これは、 (d/dx)x~2 = 2x の右辺の係数 2 から来たのです。 では、その 2 はどこから来たのかというと… x~2 を、微分係数の定義に従って微分するとき、 ( (x+h)~2 - x~2 )/h の式を h→0 で極限します。 この式は、= 2x+h ですから、→ 2x となります。 ここで、2x の 2 が現れました。 2 は、(x+h)~2 の括弧を展開した際の h について 1 次の項の係数 2C1 だったのです。 一般に、 (d/dx)x~n = nx~(n-1) の n も同様です。
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- YQS02511
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∫0→1(x)dx=[(1/2)x^2]0→1=1/2 xを積分すると(1/2)x^2 です。逆の演算で、微分するとxになり ますよね。 で、0→1までということで、1を代入した値から0を代入した値 を引き算します。 (1/2)×1^2-(1/2)×0^2=1/2 ちなみに、図形的には,直線y=xとx軸の原点0から直線x=1まで で囲まれた図形の面積になっています。 つまり1辺1である直角三角形の面積を求めたことになります。
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- sanori
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こんにちは。 (x)’= 1 (x^2)’= 2x (x^3)’= 3x^2 (x^4)’= 4x^3 ここまでは大丈夫ですか? 引き算が足し算の逆であることと同様、 積分は微分の逆なので、 ∫1dx = x + 何かの定数 ∫2xdx = x^2 + 何かの定数 ∫3x^2dx = x^3 + 何かの定数 ∫4x^3dx = x^4 + 何かの定数 です。 ∫の後ろにある定数の掛け算は∫の前からかけてもよいので、 ∫dx = x + 何かの定数 2∫xdx = x^2 + 何かの定数 3∫x^2dx = x^3 + 何かの定数 4∫x^3dx = x^4 + 何かの定数 です。 ということは、 ∫dx = x + 何かの定数 ∫xdx = x^2/2 + 何かの定数 ・・・(あ) ∫x^2dx = x^3/3 + 何かの定数 ∫x^3dx = x^4/4 + 何かの定数 です。 (あ)の式を用いて、 ∫xdx = x^2/2 + C ∫[x=0⇒1]xdx = (1^2/2 + C) - (0^2/2 + C) = 1/2
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