バネの運動

質問

e^iω0t=cos(ω0t)+ i sin(ω0t)であることを利用し、
x(t)=e^-rt[C cos(ω0t)+ D sin(ω0t)]が、
d^2x/dt^2+2rdx/dt+ω^2x=0
の解であることを確かめなさい．ここで CとDは任意の定数とする．

先ず、最初の式の利用の仕方がわかりません。
微分して代入してみてもうまく消えてくれません。
そもそも解き方がおかしいのでしょうか教えてください。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

ｅ^（iω0t）　＝　cos(ω0t)　＋　i sin(ω0t)　　・・・（あ）
に
ｔ　＝　－Ｔ
を代入すると、
ｅ^（-iω0T）　＝　cos(ω0T)　－　i sin(ω0T)
となります。
つまり、
ｅ^（-iω0t）　＝　cos(ω0t)　－　i sin(ω0t)　　・・・（い）
という、第２の公式があるということです。

（（あ）＋（い））　より
ｅ^（iω0t）　＋　ｅ^（-iω0t）　＝　２cos（ω0ｔ）
cos（ω0ｔ）　＝　１／２・（ｅ^（iω0t）　＋　ｅ^（-iω0t））　・・・（か）

（（あ）－（い））　より
ｅ^（iω0t）　＋　ｅ^（-iω0t）　＝　２ｉsin（ω0ｔ）
両辺にｉをかけて
ｉ（ｅ^（iω0t）　＋　ｅ^（-iω0t））　＝　－２sin（ω0ｔ）
sin（ω0ｔ）　＝　－ｉ／２・（ｅ^（iω0t）　＋　ｅ^（-iω0t））　　・・（き）

（か）と（き）を利用して計算することになります。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.3

sanori

すみません。誤記がありました。
（　－　を　＋　に書き間違えていました。）

以下と差し替えてください。

（（あ）－（い））　より
ｅ^（iω0t）　－　ｅ^（-iω0t）　＝　２ｉsin（ω0ｔ）
両辺にｉをかけて
ｉ（ｅ^（iω0t）　－　ｅ^（-iω0t））　＝　－２sin（ω0ｔ）
sin（ω0ｔ）　＝　－ｉ／２・（ｅ^（iω0t）　－　ｅ^（-iω0t））　　・・（き）

お礼

訂正ありがとうございました☆

回答No.1

dehehe

まず、x(t)をオイラーの公式（最初の式）でイクスポネンシャルのみの式にしてしまえば良いのでは（微分が簡単になる）？
例：cos(ω0t)=｛e^(iω0t)+e^(-iω0t)｝／2を2番目の式に代入する。
後は、２階微分、１階微分を計算して代入すれば？