cos 20°を代数的に求める

質問

僕は今三角関数の値を近似値を用いずに代数的に求めることに挑戦しています。それで、3の倍数の角度については、正五角形の対角線の長さを利用して求めることができました。
そこで、今度は3の倍数でない20°のときの値を求めようと思って、以下の式を作ってみました。
cos 20°は、三倍角の公式より、
cos 3*20°=4cos^3 20°-3cos 20°
cos 60° =4cos^3 20°-3cos 20°
1/2=4cos^3 20°-3cos 20°
0=4cos^3 20°-3cos 20°-1/2
cos^3 20°-3/4 cos 20°-1/8=0
ここで、cos 20°をxとおくと、
x^3-3/4 x-1/8=0 (^3は3乗の意味です)
つまり、この三次方程式を解けば、cos 20°の値を求められると思うのですが、これがどうもよく解りません。カルダノの公式を使っても、何だかよく分からない結果になります。
パソコンに計算させると、恐らくこの式であっていると思うのですが…
この三次方程式は、どうすれば虚数無しに代数的に解けるのでしょうか？　教えてください。

別に何かの問題とかではなく、単なる趣味ですので、暇なときに回答してくれれば嬉しいです。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

三次方程式が３実根を持つ場合について、カルダノの公式を使うと立方根号の内部に虚数が表れます。しかし、その値は実数ですから虚数を使わずに根を表記できそうですが、係数と根号だけを用いている（代数的解法にこだわっている）限り、虚数を消すことはできません。これを還元不能といいます。数値的な解を求めようとするならば、カルダノ公式はほとんど役に立ちません。さらに、１実根を持つ場合、しかもそれが整数解であったとしても、カルダノ公式で計算しようとすると難しいですね。そういう意味では、カルダノの公式は役に立たないのです。ですから、高校や大学（数学科以外の）で公式を教えないのです。カルダノの公式は、単に、「代数的に解ける」という事実の理論的・形式的な意義しかありません。

ちなみに数値的な解の近似値は、
x=-0.766044,-0.173648,0.939693
となりますが、cos 20°>0
ですから、cos 20°≒0.939693
この表記で我慢（？）するしかありません。

お礼

きめ細やかで解りやすい回答ありがとうございます。
実数であるにもかかわらず、虚数を使わないと表せない数、
そんなものがあるんですね。
結果としては、納得のいかない感じになってしまいましたが、勉強になりました。
ありがとうございます。

回答No.1

arrysthmia

それで良いのです。
方程式 x^3 -(3/4)x -(1/8) = 0 を解けば、解の内のひとつとして
x = cos20°を得ることができますし、その方程式は、代数的可解です。

問題点は、

＞ カルダノの公式を使っても、何だかよく分からない結果になります。

に見るように、
貴方が、カルダノ公式の与える解を「よく分からない」ことにあります。
高校の教科書を開いて、複素数について復習しましょう。

三つの異なる実数解を持つ三次方程式を解く際に現れる補助方程式は、
虚数根を持つことが知られており、
その方程式を代数的に解く場合、「虚数なしに」済ませるのは不可能です。

お礼

回答ありがとうございます。
そうですか、虚数を消すことはできないのですね。
自分が勉強不足でした。