靴屋のナイフ( アルベロス)について

質問

半径Rで角度が原点から正の方向に９０度の扇形があります。
その半径Rの扇形の中心点から、角度90度の半径線方向へ距離ｄ（ｄ<R/4）の位置を点aとします。
点aを中心に、（Rの扇形の角度0での半径の線に接するまで）半径（R-ｄ）の円を描きます 。
Rの扇形の角度0での半径の線に接するまで、半径（R-ｄ）の円を描きます（靴屋のナイフと似たモデルになるはず）。
半径Rの扇型の中心点から任意の角度θ（0<θ<90°)に直線を引いた際、半径Rの扇形と半径（R-ｄ）の円の差Xの求めかたがわかりません。
モデル図が載せれないのでとてもイメージしにくいと思いますがよろしくお願いいたします。

回答No.1

boobee0125 · ベストアンサー

ゴリゴリ計算してみました。半径 R の円弧、半径 R-d の円弧、および原点を通る角度θの直線をそれぞれ 円弧 A、円弧 B、および直線 C とします。円弧 B および直線 C の方程式は下記(1)および(2)です。

x^2 + (y-d)^2 = (R-d)^2 ----- (1)
y = tan(θ)*x ------------- (2)

(2)→(1)よりこれらを連立方程式として解けば二次方程式の根の公式から円弧 B と直線 C の交点の x 座標が求まり、それを cosθで割れば原点から交点までの長さが求まります。さらにそれを円弧 A の半径 R から引けば目的の長さ X が下記のように求まります。

X
= R - x/cosθ
= R - d*sinθ - √{(d*sinθ)^2 + R^2 - 2Rd} -------- (3)

蛇足ながら e = d/R を用いれば

X = R*[1 - e*sinθ - √{(e*sinθ)^2 + 1 - 2e} ------ (4)　

となり R に比例した形が得られます。

お礼

検証というか式を辿ってみましたが、合ってそうです。
図示ができなかったため、お時間がかかったと思います。
本当にありがとうございました。