面積の求めかた

質問

図がなくてすいません。
扇形に円Pが接している。斜線部の面積はいくらか。
∠AOB=60度
BO=12cmとする。

∠AOBは60度の扇形
扇形の中に、中心Pの円があり、扇形に接している点は、C,D,Eです。
点CはOAの間、点DはOBの間、点Eは弧ABの間です。
斜線部は点C,O,Dに囲まれている部分です。

円の半径をｒとすると、
∠POD=30度

このあとはよくわかりません。
お願いします

回答No.6

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。

分かりやすくするために、内接円の半径をrとしましょう。
図を描くと、内接円の中心Pは、∠AOBの二等分線上にありますよね。
だから
＞円の半径をｒとすると、
∠POD=30度

と分かったんですよね。

さて、OPの延長上にEがありますから、
OE=OA=OB=扇形の半径＝１２
PE=PC=PD=内接円の半径=r
なので、
OP=12-r
PD=r
ですから、△PODにおいて、ピタゴラスの定理より、
OP^2=PD^2+OD^2
(12-r)^2=r^2+OD^2
OD^2=(12-r)^2-r^2=144-24r・・・(1)

また、∠POD=30°だと求めていますから、
△PODにおいて、
OP:PD=2:1=(12-r):r
12-r=2r
3r=12
r=4・・・(2)
内接円の半径は４です。これを(1)に代入。

OD^2=48より、OD>から、OD=4√3

求める面積は、
△POD+△PCD－（半径４、中心角６０度の扇形の面積）

ですから、
△POD=底辺OD×高さPD÷２＝４√３×４÷２＝８√３

△POD=△PCDですから

△POD+△PCD－（半径４、中心角６０度の扇形の面積）
＝８√３＋８√３－４＊４Π/３
＝１６√３－１６Π/３
＝１６（３√３－Π）/３・・・（答え）

回答No.8

nabeyann

３点しか接してないから、扇形に内接してます。

cp=dp=ep=r
op=12-r
op×sin30=r
☆(三平方の定理を使ても、　cp/op=1/2)
∴op=2r
3r=12
r=4

四角形ocpdの面積は、三角形ocpの面積の２倍
∴　四角形ocpdの面積＝ｒ×ｒ√３
扇形pcdの面積＝1/3×πｒ^２
よって、求める面積＝ｒ^２(√３－π/3）
ｒ＝４を代入

回答No.7

grapo

合ってましたか。ホッとしました(^^)
半径の求め方ですが
まず内接円の中心Pから線OA(もしくはOB)に垂線を
引きます。
その点（OAと垂線の交点）がC(もしくはD)です。

ここでポイントは
PD=PE=内接円の半径
になるということです。
この関係を式に表して方程式を作成します。

三角形OPDは1:2:√3の三角形になりますので
PD=1/√3*OD …（１式）
OP=2/√3*OD …（２式）
OEは12ｃｍなので
PE=12-OP
　=12-2/√3*OD …（３式）

ここでPD=PEなので１,３式より
1/√3*OD=12-2/√3*OD
これを解いて
OD=4√3
よって(1:2:√3より）
PD=4
OP=8

これで四角形OCPDと扇形PCDの面積が求められると
思います。
答えが合ってるということなので
「自信あり」にチェックしました(^^;

回答No.5

MSZ006

三角形ＯＰＤの各辺の長さの比と、ＰＤ＝ＰＥ、ＯＢ＝ＯＥであることを考えると内接円Ｐの半径が判ります。

回答No.4

fine_day

＃２です。問題を勘違いしていました。ΔOCDじゃなくて、ΔOCDから「弧CD・弦CDに囲まれた部分」（かまぼこ形）を取り去った形の面積なんですね。
また考えてみます。

回答No.3

grapo

まず扇形の中の円の半径を求めます。
OA(もしくはOB)=OE
として式をつくります。

半径が出れば四角形OAPBの面積と扇形PABの面積
がわかりますので
求める面積＝四角形OAPB－扇形PAB
となります。

16√3－16/3*3.14
になったけど合ってるか自信なし(^^;

補足

ありがとうございます。
答えあってます。
半径の求め方がよくわかりません。
どのようにもとめるのでしょうか？

回答No.2

fine_day

円は扇形に内接しているんですよね？

四角形OCPDを考える。
∠OCP＝∠ODP＝90°（線と円が接しているから）
よって∠CPD＝180°－∠COD＝120°
これより∠CED＝60°

ちょっとあいまいなんですが、CE＝DEが言えれば
ΔCEDは挟角が60°の二等辺三角形、つまり正三角形
ΔOCDも同じく正三角形
一辺の長さが等しいからΔCED≡ΔOCD
またOE＝OB＝12cm
よってOCDの面積は高さ6cmの正三角形の面積に等しい（＝12√3）

いいかげんですが、参考になれば…。
まちがっていたらごめんなさい。

補足

ありがとうございます。

参考書によると、
三角形PDOC=16√3
扇形 弧PDCの面積16π/3

回答No.1

MSZ006

三角形OPDの面積から扇形PDF（Fは線分OPと内接円の交点とします）の面積を引いて２倍するという計算になると思います。