おうぎ形と半円に囲まれた面積の求め方

質問

１辺２ｃｍの正方形ＡＢＣD内に、ＢＣを直径とする半円と、Ｄを中心とした半径ＡＤのおうぎ形（１／４円）を描いたとき、２本の弧に囲まれた部分の面積を求めよ。という問題です。どうかご指南のほどお願いします。

回答No.6

info22

#2です。
#5さん指摘ありがとう。
早とちりでした。
A#2を
S=2*2*π*arctan(1/2)/π＋1*1*π*arctan(2)/π-{(1*2)/2}*2
=4arctan(1/2)+arctan(2)-2
≒0.961739[cm^2]
と訂正して下さい。

なお、
計算はgoogle検索（電卓）で以下のように計算してくれます。
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=4*atan%281%2F2%29%2Batan%282%29-2&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=lang_en%7Clang_ja&aq=f&oq=

回答No.5

htms42

２つの円の交点をＰ、辺ＢＣの中点をＭとします。
∠ＤＭＣ＝θとします。
ｔａｎθ＝２です。
四辺形ＤＰＭＣで∠Ｐ＝∠Ｃ＝９０°です。
この四辺形と内部の円弧だけを残して後を消してみてください。
　　Ｐ
Ｍ<()＞Ｄ　のような図形になります。
　　Ｃ
頂点ＤとＭを中心とする２つの円の作る葉っぱ型の図形の面積が求めるものです。正方形の場合の葉っぱ型の図形の面積の求め方はご存知のようですので同じ考え方で出来ます。四辺形ＤＰＭＣの面積は２です。

θの値が必要です。
（これが気に入りません。他の方法があれば教えていただきたいと思います。）
θ＞６０°というのは分かりますがそれ以上は関数電卓を使わないとダメなようです。
θ＝６３．５　で　ｔａｎθ＝１．９９７です。

θ＝６３．５°で計算すると答えは０．９６になります。

＃２のご回答の０．８９という値は葉っぱの部分ではなくて頂点Ｄの側の図形　　)＞Ｄ　の面積だと思います。

お礼

ありがとうございます！
私の質問の仕方が悪く、四角形ＤＰＭＣの面積が２であることから、
扇型２つの面積の和－四角形ＤＰＭＣで求めることは想像がついたのですが、
どうしても扇型の中心角が分かりませんでした。

四角形ＤＰＭＣを考える際に出てくる直角三角形の３辺の比が
１：２：√５であることから、角の大きさが求められないことが
判明したので、もしかしたら面積を他の場所に移動させる方法が
あるのかもしれない、と考えていましたが（いかがでしょうか？）
約０．９６ということでスッキリしました。

＃２の方のヒントを参考に考えてもみましたが、どうしても
答えがくるってしまい、悩んでおりました。その点も解決して
いただきありがとうございました。

回答No.4

arrysthmia

丸投げだから、「答え」は書きませんが…

２弧の交点をＸ、ＢＣの中点をＭとして、
△ＤＸＭに注目すれば、求め方が見えてきます。
それにしても、
∠ＭＤＸの大きさが、嫌な値ですね。

回答No.3

owata-www

＃１ですが確かに誤解していましたね、すいません

しかし、結局同じやり方で解けますね

扇形の交点を通りＡＢに平行な線を引けば分かります

回答No.2

info22

自分の解答を書かない丸投げの問題なので

ヒントをかねて、式だけ書きます。
S={(1*2)/2}*2-1*1*π*(2*arctan(2))/(2π)=2-arctan(2)≒0.89285

なぜ、こうなるかは自分で考えて下さい。

回答No.1

owata-www

丸投げ（禁止事項）なのでヒントだけ

図を考えると２つの扇形から正方形を引いた面積になります

お礼

さっそくのご回答ありがとうございます。
しかし、図を誤解されていませんか？
いわゆる一般的な「葉っぱ形」ではありません。