面積の求め方

質問

お世話になります。
６年生の子と算数を解いています。正方形ＡＢＣＤがあり、点Ａを中心とした円を正方形の中に描きます。（９０°の扇形）
点Ｃでも同様にすると、Ａの扇形とＣの扇形で重なる葉っぱのような形の面積を求めるものでした。
これは解けたのですが、子どもが「点ＢとＤでも扇形を描いて扇形ＡＢＣＤの重なる部分で出来る手裏剣のような形の面積はどう出すのか？」と言い出しました。
ちょっと考えてみたのですが、これが解けません。
これはもう算数というより数学（微分？積分？）のような気がするのですが、解き方を教えてください。
あと、６年生に説明できるような問題でしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

mythism · ベストアンサー

とき方そのものは難しくはありませんが，6年生への説明は無理だと思います．

とき方としては，
　Aを頂点とする円とBを頂点とする円の正方形中の交点をEとする．
　三角形ABEは正三角形であるので，
　　AB（=底辺）×（AB×√3÷2）（=高さ）÷2
でこの三角形の面積が計算できます．
　扇形ADEおよび扇形BCEの面積は，三角形ABEは正三角形であり，各角が60°であることから，30°の扇形である．従って，
　　AB×AB×（30÷360）
　で，これらの扇形の面積がわかります．
従って，正方形の面積から，正三角形の面積と2つの扇形の面積を引くと，図形CDEの面積が計算できます．
正方形中に図形CDEと同じ形が4つあるわけですから，正方形の面積から図形CDEの面積の4倍を引いてやれば，手裏剣形の部分の面積が求められます．

…やはり，小学校6年生には難しいですね．
ピタゴラスの定理を学習してからでないと，教えるのは難しいでしょうね．

回答No.9

takkochan

ほとんど回答が出ているので、全然参考にならないことをひとつ。
この問題は、大学入試（おそらく積分の問題として）出題されたことがあります。

補足

まとめての御礼になってしまって申し訳ありません。
回答を頂いてから暇さえあれば考えていたのですが、理解するのに一晩かかってしまいました。(^_^;)
扇形の２辺が曲線だと言う事にとらわれてしまって・・・。(汗)
補助線の意味がわかったらすぐ解けました！すっきりしました。
６年の子は一応√３の意味はわかるらしいので、早速教える事にします。
皆さん、どうもありがとうございました。

回答No.8

bttf2003

＃７です。間違っているところがあったので、訂正します。

正：一辺を２０ｃｍの正三角形

誤：一辺を１０ｃｍの正三角形

正：高さは大体１７．３ｃｍ

誤：高さは大体１．７ｃｍ

　　　　やっぱり、私には東大は無理だった！！！

失礼しました。

回答No.7

bttf2003

＃４です。
小５の時、クラスメイト３人で授業中に、この問題を紙に書いて回しながら解いていました。
一人が、正方形や直角三角形をいろいろ書いて、「正三角形の一辺を１とすると正三角形の高さは、小数を２回掛けたものが３になる数の半分だ」と書いてきました。
もう一人は、「小数を２回掛けたものが３になる数は、１．５と２の間にある」と書いてきました。
私は、一辺を１０ｃｍの正三角形を書いて「高さは大体１．７ｃｍだ」と書いて他の２人に回しました。
それから、「小数を２回掛けたものが３になる数は、１．７３位であること」が分かった時、先生に見つかって「職員室に後で来い」といわれました。
先生は３人に「こんな難しい問題を、授業中に解くな」といっただけでした。
その後、一人は東大理学部に入学し、もう一人は京大工学部に入学し、残りの一人は普通の大学の工学部へ入学しました。

だから、小学校の生徒のうち１人くらいは、この問題を解ける子供がいると思います。

回答No.6

UKIKUSA2

公式ではなく、応用の利かない手ですがこんな方法もあります。

まず、ホームセンターなどで重量のある厚板を買い、
正方形ＡＢＣＤを作りその重さを量りましょう。
家庭にある上皿天秤で計れるでしょう。
（例えば、１０ｃｍ×１０ｃｍで１００ｃｍ２、
　重さが、Ａｇ）

次に、その正方形に手裏剣を書き、糸鋸で引きましょう。

最後にその手裏剣の重さを量りましょう（重さＢｇ）。

そして両者の重さの比（１００ｃｍ２×Ｂ／Ａ）から、
手裏剣の面積を求めましょう。

回答No.5

hinebot

＃２です。

＃３の方もおっしゃっていますが、積分などを使わずにこれを解くには正三角形の面積（高さ）を使う必要があり、そこで「√3」という数字が出てくるため、その時点で小学生の範囲を超えます。
三平方の定理（ピタゴラスの定理）から出てくるものですが、三角定規の３辺の比としても有名です。
この「√3」さえ理解できるなら、あとの計算は充分小学生レベルなのですが…。

回答No.4

bttf2003

これは、超有名な中高一貫教育校の「中学入試」の算数問題です。
三角関数が理解できれば解けます。
積分が分かるなら簡単に解けます。
しかし、算数で解くのは補助線を見つけるのに、少し時間がかかると思います。

このサイトには、数学に詳しい人がいるので、ちょっと待てば、正解の回答があるでしょう。

回答No.2

hinebot

求める部分が違いますが、こちらで詳しく解説されてます。（基本的に考え方は同じです）

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=121947

回答No.1

laputart

微分、積分はいらないようです。

正方形の中に出来る４つの交点をAとBに近い点を
Eとします。BECで囲まれた部分の面積を求め
４倍します。正方形からこれを引くと
真ん中の図形の面積になりますね。

ではBECの面積はECに直線を引きます。
この時扇形BECの面積はECDが正三角形であるから
求められます。

とここまででよろしいですか。

有名な難問です。