ヒントを見つけるヒントになるヒント

質問

問題の解説とにらみっこしていると、「なんで○○が問題を解くヒントになるんだろう？何をヒントに、それがヒントだと気付けばいいんだろう？」と悩むことが圧倒的に多いです。

人に「この問題はこう解く」と言われると、「あー、そっか！」と納得できるのですが、そのヒントを自力で見つけ出すことができずに困っています。

＊問
ａ、ｂはそれぞれ１以上９以下の自然数で、かつ、ａはｂよりも小さいものとする。例えばａが１、ｂが２のとき、ａｂａは３けたの自然数である１２１を表すものとする。このとき、ａｂａとｂａｂの和が１２２１になるａとｂの組合せは何通りあるか。

＊初めてこの問題をみたときの僕の頭の中
「ａ、ｂは１～８である…ってところまではわかる。ａが８ではないこと、ｂが１ではないというだ。…あれ？でもそれ以外は可能性がありすぎて一つ一つ確かめることもできないぞ…」

＊この問題が解けた人の主張（うろ覚え）
ａ、ｂは１～９だから、１０進法の問題である。

＊それをヒントに改めて自分で解いたやり方
100ａ＋10ｂ＋ａ＋100ｂ＋10ａ＋ｂ＝１２２１
111ａ＋111ｂ＝１２２１
ａ＋ｂ＝１１　
ａの可能性は２～５、ｂの可能性は９～６となり、回答は４通り。

…で、ここで最大の疑問です。この問題が解けた人は問題文の「１以上９以下の自然数」というのをヒントに○進法の問題だと見抜いたようですが、ａ・ｂが１以上９以下の自然数というのは、むしろ当たり前のことでヒントとして着目するようなことではないと思うんです。
なのに、なぜこれをいまさら「10進法だ！」ととらえ＆ａｂａなどを10進法の式に変えて計算すれば答えがだせるというところまで話が飛ぶのですか。

この問題に限らず、問題を解くヒントは、何をヒントに見つければよいのですか。問題文を読んだだけで、判断できないと困惑してしまうことが多く、越えられない壁の一つです…。よろしくお願いします。

回答No.5

htms42

＞ａ、ｂはそれぞれ１以上９以下の自然数で、かつ、ａはｂよりも小さいものとする。
＞例えばａが１、ｂが２のとき、ａｂａは３けたの自然数である１２１を表すものとする

この文章が全てです。
自然数ａ，ｂの作るａｂａという表現の意味を定義しています。これ以外にヒントはありません。

１０進法であるというのは「ａｂａが３桁の『自然数』である１２１を表す」というところから決まるのだと思います。「５進法で１２１と表された数字を自然数とは呼ばない」と思うからです。
だから「ａ，ｂが１以上、７以下の整数」と書いてあっても１０進法としていいのです。８進法であると考える必要はありません。
解答は　ａ＝４，５、　ｂ＝７，６　の２通りになります。

ａ，ｂが１以上、９以下の整数（ａ＜ｂ）であって１２進法だとします。（１２１は自然数ではありません。１２進法での１２１です。）
ａ＋ｂ＝１１となります。
１０進法の表記に直すと
ａ＋ｂ＝１３です。
ａ＝４，５，６、　　ｂ＝９，８，７
の３通りになります。

１２進数で全ての数字を表すためには１０進法での１０，１１，１２にあたる記号を導入しなければいけないことになります。
０，１，２、・・・、Ａ，Ｂ，Ｃ　のような表記です。
１以上、９以下の整数としておけばこういう手間を省くことが出来ます。

１０進法以外であれば
「～進法である」と明示されるか
繰り上がりと表現の規則が書かれているか
のはずだと思います。

お礼

ありがとうございます。

つまり、僕が参考にした人の意見はあまり的確ではなかったわけですね（^^;。あのアドバイスを気にするのはもうやめます。

＞自然数ａ，ｂの作るａｂａという表現の意味を定義しています
しかし、ここから100a＋10b＋ａと解けばいい、と、どうやったら思いつけるのかがわかりません。