ヒントのない問題（組合せ）

質問

「題意からは何を（どっちを）問いたいのか判断ができないな」と悩む問題がでてきました。

問
１から１０までの１０個の整数から、５個の整数を選んで５個の組を作る。このとき、最大値が８の組は何通りあるか。

☆僕が思いついた解き方
最大値が８ということは、あとの４つは１～７から選ぶわけだから、純粋に８Ｃ５で解けるはず。もしくは、８Ｐ５で解けるはずだ。
↓
問の題意は、「何通りあるか」なわけだから、１２３でも１３２でも
別々のものと捉えて、総じて「全部で何通りか」と問いていると解釈するのが自然である。
↓
よって、正しい解き方は８Ｐ５である、と考えました。

☆テキストの解説
まず８を選んで、あとの４つは１～７から選べばよいので、７Ｃ４
＝３５通りが正解。

☆テキストの解説を読んで感じた疑問点
７Ｃ４では、「１２３」「１３２」を同じものとして捉えた場合に使う式であり、この問題では「何通りあるか」と問いてはいても、決して「組合せはいくつあるか」とは問いていない…よって、７Ｃ４は不適切であると感じています。

また、仮にこのＣが正しかったとしても、８Ｃ５ではダメで７Ｃ４なら正しいという理由がないと感じています。なぜなら、８Ｃ５は、１～８のうち５個を選び抜き出す、という式にちゃんとなっています。
７Ｃ４だと、５つ並ぶ数字のうち、８の位置が無視されているため、不適切であると感じています。

「組合せはいくつあるか」ではなく、わざわざ「何通りあるか」という表現をしている問本文が最大のヒントだと思いましたが、どうやらそれは違っているようです。しかし、選び方ではなく組合せをここでは問いている、というヒント（証拠）がないため、これ以上は解き手には判断のしようがありません。

正しい解き方はなぜ正しいのですか。また、何をヒントにどれが正しいと見極めればよいのですか。いくら勉強をしても、その問題問題によってパターンが全く違うため、勉強になっていないということに困っています。よろしくお願いいたします。

回答No.10

kaikailojp

問題で問いているのは、あくまで「最大値が８の組は何通りあるか」
です。つまり、５つの数字のうち８が入ってさえいれば、それぞれ「最大値が８の組」であるわけですよね。

「１、２、８、５、４」、「８、１、２、４、５」は並べ替えたら変化があるのに、なぜ別物として考えず、Ｐではいけないのかがわからないのです。
とのお礼にたいしてですが

「問題で問いているのは、あくまで「最大値が８の組は何通りあるか」
です。つまり、５つの数字のうち８が入ってさえいれば、それぞれ「最大値が８の組」であるわけですよね。」

えーっとですねもう多分いってもわからないのでいいですが、一応いっときますと　８さえはいっていればいい　じゃないよね
９、１０はいってたらだめじゃん。

あと
「１、２、８、５、４」、「８、１、２、４、５」は並べ替えたら変化があるのに
っておかしいよね。　５桁の数つくるんじゃなくて８が最大となる組をえらぶんだから変化してないじゃん。
両方最大値は８そして同じくみだよ

あのねーＰって順列のことなんだよ。
しっかり教科書とかチャートとか見たほうがいいよ。
頼りすぎなんじゃないかな。

お礼

だいぶ間があいてしまいました。すみません。

僕の頭の中では「１，２，３，４，５」とい横一列に並ぶイメージでしたが、そうでない考え方が必要な問題もあるという勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.9

koko_u_

>しかし、だからこそ、なぜ８Ｐ５ではＮＧかがわかりません。
重複を許さず、選ぶ順序も考慮するとしても、8P5 ではありません。
それはわかったんですよね？

問題が曖昧だな、と感じたら、「数字を選ぶときに重複を許さず、選ぶ時の順序も考慮して数えるものとして以下解答する」と宣言してから答えを書けばいいんじゃないかな。
もしくは、やや嫌味だけど、思い付くすべての解釈に対して解答を付けるとか。

多分、出題者は「あからさまに順序は考慮しない」などと書くとヒントになってしまう、
というような無駄な心配をしたために、おかしな問題文になったと想像します。

結局、わかんない人はどんなに丁寧に問題文を書いてもわかんないんだけど、出題者はそれに気付かないのさ。

お礼

だいぶ間があいてしまいました。すみません。

練習問題としては適切ではなかったというわけですね。ありがとうございました。

回答No.8

Tacosan

少なくとも「問」の日本語はおかしいです.
「5個の整数を選んで 5個の組を作る」という文章から「5個の数からなる組を作る」と解釈するのは相当に無理があります. 「5個の組」と書いてあるわけだから, (どのようなものかよくわからないけど) 組が 5個あると読む方が自然. でも, そうすると今度はその前の「5個の整数を選んで」とつながりません.

お礼

だいぶ間があいてしまいました。すみません。

あまり練習問題としては適切ではなかったようですね。ありがとうございました。

回答No.7

arrysthmia

問題文の日本語自体に、不自然な部分がありますが、
これは、どこかの問題集に載っていた問題なのですか？
「５個の整数を選んで５個の組を作る」では、
５個の整数の組を５個作る（結果的に２５個の整数を選ぶ）
ようにも読めるし、
「１０個の整数から、５個の整数を選んで」だけでは、
同じ整数を２度選んでよいのかどうかが不明瞭です。
どこの誰が、こんな稚拙な文章を…

その点は、さておき、
「１から１０までの整数から、重複なく５個の整数を選ぶ。
このとき、最大値が８となる選び方は、何通りあるか。」
と自然に解釈する（質問者さんも、そうしていますね？）
ことにすれば、
「１２３４８」と「８１２３４」が、同じ「選び方」である
ことは、普通に日本語がわかる人には、わかるでしょう。

問題文に「組み合わせは、いくつあるか」と書かれたらＣを、
「順列は、いくつあるか」と書かれたらＰを使うと考えている
のだとしたら、
最大の難点は、問題分の内容、そこに書かれた状況を一切
理解しようとしていない点にあります。キーワードだけ拾って
文章の内容を理解しなくても問題が解けるというなら、
出題は、ちゃんとした文章でなくても、
「１から１０、整数、５個の組、最大値が８、何通りか。」
でも同じことです。
しかし、普通の生徒は、問題の文章を読み、答案の文章を書き、
教師と言語コミュニケーションをしているのです。

毎回同じ事ですが、パターンから解き方を見極めようとするから、
いくら勉強したフリをしても、何の勉強にもなっていないのです。
問題文から読み取るべきは、過去問のパターンではなく、
そこに設定された状況です。覚えて思い出すことばかりでなく、
たまには、考えることもしてみましょう。

お礼

ありがとうございます。

「問題文の日本語自体に、不自然な部分があります」とありますが、僕の疑問自体がおかしいと書き込まれている方もいらっしゃいます。
問題文がおかしいのですか。それとも僕の解釈の仕方がおかしいのですか。ちなみに、僕が質問している問題は、いつもテキストのそれのそのものです。

＞「１２３４８」と「８１２３４」が、同じ「選び方」である
ここは僕でも理解できます。しかし、並び方が違うので、前者を第一組、後者を第二組と、別々の組ととらえることができてしまいます。
だから、Ｐを使うべきであると考えました（よって、問題文の問い方で判断しているわけではありません）。

＞問題文から読み取るべきは、そこに設定された状況です
この問題の問い方では、「１２３４８」と「８１２３４」を別物としてとらえてよいという設定だと考えました。なぜなら「最大値が８の組は何通りあるか」という問い方なので、最大値が８でありさえすれば、それぞれ別物ととして捉えるべきであると、読みとることができるからです。

＞たまには、考えることもしてみましょう。
とありますが、考えたってそんなパッパとは判断はつかないのです。そのため、やったことのないパターンの問題に出会うたびに苦労しています。なぜなら、考えてもそれが正しいかどうかを示す材料がなく、あくまで手探りで求めた推測でしかないからです。

回答No.6

staratras

>１から１０までの１０個の整数から、５個の整数を選んで５個の組を作る。

この問題の文章で５個の「組」とは、整数５個による「組み合わせ」の意味です。「５個の整数を並べた並べ方（並ぶ順を考慮した順列）」の意味だと考えるのは相当無理があります。また質問者様が「何通り」＝順列、あるいは「選び方」＝順列≠「組み合わせ」だとお考えだとしたらそれは誤りです。「順列」についても「組み合わせ」についても「選び方」は「何通りあるか」という聞き方が可能です。

＞１から１０までの１０個の整数から、５個の整数を選んだ組み合わせのうち、最大値が８の組み合わせは何通りあるか。（ただし重複して選ぶことはできない）というような問題文にすれば質問者様も納得されますか。ただこうすると、題意を誤解する人はほとんどいなくなる代わりに、問題を解く人が「組み合わせ」の問題だと字面だけを見て判断するおそれもありますので、「組み合わせという言葉を問題文に入れるのは避けたい」出題者もいそうです。このあたりのことは、多種多様な問題を解いてゆくうちに次第に分かってくると思います。なお8Ｃ5が不適切な理由はこれまでの回答の通りです。

お礼

ありがとうございます。

＞「５個の整数を並べた並べ方（並ぶ順を考慮した順列）」の意味だと考えるのは相当無理があります。

「５個の整数を選んで」とあるので、てっきり数字的に横一列に並べればよいものなのかとばかり思っていました。
なぜなら、「12348」を第一組、「81234」を第二組ととらえることもできるからです。これがいけない理由は、主にどのようなものなのでしょうか。

回答No.5

u-don

１から１０までの１０個の整数から、５個の整数を選んで５個の組を作る。このとき、最大値が８の組は何通りあるか。

単純に５この数字を選べと言っているだけで、選んだ数字を並べろなど条件が指定されていないので、5つの数字のグループを作るのが問題の趣旨と理解できます。
仮に「Ｘ～Ｙまでの整数からＺ個を選んで、Ｚ桁の整数を作れ」などと問題が出されれば並びを考えなければなりません。
基本的に問題は、「指定されていないことは考えない」

>８Ｃ５は、１～８のうち５個を選び抜き出す、という式にちゃんとなっています。
この場合、指定された条件に最大値が８という条件が入っています。
８Ｃ５では７６５４３など、８が含まれない数まで要素となってしまいます。
なので８を固定化した残りの四つを求めるので７Ｃ４が答えとなります。

お礼

ありがとうございます。

＞５この数字を選べと言っているだけで
少しだけわかったような気がします。つまり、横一列に「12348」とするのではなく、１と２と３と４と８で１セット、ということだったわけですね。

回答No.4

okky0707

困った人ですね。数学以前に国語の問題です。

＞問の題意は、「何通りあるか」なわけだから、１２３でも１３２でも
別々のものと捉えて、総じて「全部で何通りか」と問いていると解釈するのが自然である。

　「5個の整数を選んで組を作る」のだから数字の順序は関係ない。
「５けたの数字を作る」というなら順序も関係するが。

＞８Ｃ５は、１～８のうち５個を選び抜き出す、という式にちゃんとなっています。

　１から８のうち5個を選んだら8が入らない組み合わせ（１２３４５など）も数えてしまうよ。

　もう少し問題文を読む読解力を身に付けたほうが良い、としか言いようがない。

お礼

ありがとうございます。

「5個の整数を選んで組を作る」、ということが、なぜ「数字の順序は関係ない」という結論に至るのですか。問題で問いているのは、「最大値が８の組は何通りあるか」です。すなわち、「12348」であろうと「81234」であろうと、最大値が８の組であるから、全くの別物です。

回答No.3

Tacosan

「8C5」だと「1～8 の中から 5個を選ぶ」わけだから, 「8 が選ばれるとは限らない」ということに気付かないのかなぁ?

お礼

ありがとうございます。

＞「8 が選ばれるとは限らない」ということに気付かないのかなぁ?

そうなんです。いつも、自分で考えるとわからないのに、人に言われるとやっとわかるんです。

だから、いつもここで質問すると納得できるのですが、それが自分でできるようにならないから、困っているのです。

回答No.2

kaikailojp

質問者さまに失礼なようなことがありましたらすみません。

質問者さまは

問の題意は、「何通りあるか」なわけだから、１２３でも１３２でも
別々のものと捉えて、総じて「全部で何通りか」と問いていると解釈するのが自然である。　よって、正しい解き方は８Ｐ５である、と考えました。
としていますが、例えば組み合わせの問題でも答えは～通り　となりますよね？
この問題での最大のヒントとしては最大値が８である時　ということです。
つまり８がその組の最大の数であとは７以下であればいいということですよね？　
よって８をあらかじめ選んでおくとします。このときあと４個選べばいいのですが最大値が８であるから７以下の中から４個選ぶことになります。
よって８を選ぶとおりは１コ中１こ選ぶのだから１通り、７個の中から４選ぶとおりは７Ｃ４で式としては　１Ｃ１×７Ｃ４　⇔　１×３５となります。
だからこの問題は答えは３５ですが、なぜ組み合わせの問題になるのかというと最大値が８ということは　「１、２、８、５、４」、「８、１、２、４、５」でも最大値は８でありほかの数の順序によって最大値が変わることはないからです。

ヒントの見極め方は一重になれるのが一番正確かと思います。
問題は何を聞いているのか、順列？組み合わせ？なのかをしっかりと判断することが大事だと思います。
順列（Ｐの計算）は組み合わせ（Ｃの計算）を並び替えることです。
つまり　７Ｐ４　というのは　７Ｃ４×４!　ですよね？
だから並び変えたら変化があると考えられるときはＰ、変化がないと思われる時はＣを使うとか独自に考えてみるのも大事だと思います。
私もはじめは戸惑いましたが模試などといてるうちにだいぶ理解できてきました♪　がんばってくださいね！！

お礼

ありがとうございます。

＞８がその組の最大の数であとは７以下であればいい
ここまでは自分も理解できます。

＞最大値が８であるから７以下の中から４個選ぶことになります。
ここもＯＫです。

＞最大値は８でありほかの数の順序によって最大値が変わることはな＞いからです
ここで一気にわからなくなってしまいました…。

問題で問いているのは、あくまで「最大値が８の組は何通りあるか」
です。つまり、５つの数字のうち８が入ってさえいれば、それぞれ「最大値が８の組」であるわけですよね。

「１、２、８、５、４」、「８、１、２、４、５」は並べ替えたら変化があるのに、なぜ別物として考えず、Ｐではいけないのかがわからないのです。

回答No.1

koko_u_

順序を考慮するか、しないかは題意から読み取れる場合もあれば、読み取れない場合もあります。
この問題の場合も、順序を込めて数えるのか、や10個の整数から重複を許して 5個選ぶのか、などかなり曖昧です。

しかし
>８Ｃ５ではダメで７Ｃ４なら正しいという理由がないと感じています。

これはいただけません。
しばらくは通りの数を樹形図などを用いて数え上げると良いでしょう。

お礼

koko_u_さん、こんばんは。ありがとうございます。

＞これはいただけません。
とあり、「なんでだろう？」と首をかしげていたのですが、他の方のコメントをみてやっと意味がわかりました。

＞この問題の場合も…などかなり曖昧です。
とあり、珍しく僕の疑問点は正しかったんだな、と少しホッとしました。しかし、だからこそ、なぜ８Ｐ５ではＮＧかがわかりません。