ボルツマン因子について（統計力学のはじめのほうです）

質問

最近統計力学を勉強し始めたものです。

ボルツマン因子のeにかかる-E/KTに関しての質問です。
わかる方がいましたら、教えてください。以下がその内容です。

ピストンに閉じ込められ1個の自由粒子を考える。
簡単のために、ピストンを1次元的に考える。
ピストンは固体であるが、やはり分子からできているので
粒子と及ぼしあう力は、粒子がピストンの表面に近づき
ピストンにのめりこもうとすれば急激に大きくなる斥力である。

この力は粒子が分子の大きさδの距離まで近づいた時にだけ働く。
このとき、ピストンと粒子の相互作用のポテンシャルをWとすると、

粒子の存在確率はボルツマン因子eの-βW乗に比例する。β=1/KT

とありますが、なぜボルツマン因子の肩に乗っている数値は
ポテンシャルと運動エネルギーを合わせたE(q,p) (位置と運動量の関数)ではなくて
単にポテンシャルだけなのでしょうか？

回答No.1

noname#96418

質問者さんがおっしゃっているのは位相空間における存在確率ですね。運動エネルギーを T とすると、

E(p,q) = T(p) + W(q)

で、

exp(-βE) = exp(-βT) * exp(-βW)

となって、exp(-βW) に比例する形に、一応なります。

しかし、いま問題にしたい存在確率は、おそらく q 空間におけるものでしょうね。その場合、位相空間での確率を全 p 空間で積分する必要がありますが、p が関係するのは T(p) だけで、上の第２式からわかるように、その因子は q とは独立に積分されてしまいます。そして、結果的に exp(-βW) の因子が残る、ということではないでしょうか。