統計力学の問題

質問

以下の問題で１番を解く際に、ボース分布を使って説くべきなのでしょうか。ギブス因子を考えて解くべきなのでしょうか。頭が混乱しています。それとNは変化するのでしょうか。回答よろしくお願いします。

一辺L の立方体の空洞が温度T の熱浴と接触している場合を考える．熱放射により空洞内で定常振動の電磁波が形
成される．電磁波は２つの偏りがある横波として光速c で伝わる．壁での電磁波の振幅が0 となる境界条件のもとで
は，空洞内の電磁波の固有振動の振動数は
ν = c2L√(nx^2 + ny^2 + nz^2)
, (nx, ny, nz = 1, 2, 3, 4,,,,, )
で与えられる．この条件を満たす固有振動数を小さいものから順番に
ν1,ν2,ν3,,,,,νj,,,, (4-1)
とする．空洞内の粒子系全体の量子状態を各固有振動ごとの光子数N1, N2, N3,,,,,Nj,,,,,, で表す．この時，零点エ
ネルギーを無視して，空洞内のエネルギーは次式で表されるものとする．
E =ΣhνjNj　
h はプランク(Planck) 定数である．また，ボルツマン(Boltzmann) 定数はk を用いよ．
以下の問いに答えよ．
1. 光子は化学ポテンシャルがゼロのボーズ(Bose) 粒子として振舞う．この系のカノニカル分布と分配関数を求めよ．
2. １より，特定の偏りにおける振動数νj の固有振動の平均光子数と平均エネルギーを計算せよ．

回答No.2

MsLily

誤解を与える表現があったかもしれません。Esのｓは'state'のｓでEsはE×ｓという意味ではなく、ｓという状態の持つエネルギーの意味で使っています。

平均粒子数は（大）分配関数が分れば、グランドカノニカル分布に従って求めることができます。この計算の詳細はここでは書けませんので以下の本を参照ください
大学演習　熱学・統計力学　久保亮五　編　裳華房
P235 第5章例題１２
有名な演習書なので大学の図書館にでもいけばあると思います。

お礼

いつもありがとうございます。
Esに関しては特に問題なかったです。
演習書は有名なものですね。詳細ありがとうございます。
頑張ります

回答No.1

MsLily

＞以下の問題で１番を解く際に、ボース分布を使って説くべきなのでしょうか。ギブス因子を考えて解くべきなのでしょうか
カノニカル分布は統計性にかかわらずexp(-β(Es-μN))です。この場合化学ポテンシャルが０なのでexp(-βEs)です。分配関数はexp(-βEs)の状態和をとるだけです。ここまではボーズ分布・フェルミ分布・ボルツマン分布如何に関わらず同じです。統計性によって違うのは分配関数を求めるときの状態和のとり方です。この問題ではボーズ統計に従って状態和をとればOKです。

＞Nは変化するのでしょうか
Nが変化しうるから化学ポテンシャルが０になります。しかし化学ポテンシャルが０なので、粒子数が変化しようとしまいとどのみち関係ないでしょう

補足

丁寧にありがとうございます。
量子論の考え方から　Eｓ＝ｓｈｖとしていいのでしょうか。
また平均光子数を求めるときに、Nｓとｓを関連させる必要が出てくると思うのですが、それはどうすればいいのでしょうか。
度重なる質問申し訳ありません。