一分子の基底状態と励起状態の縮退度の求め方

質問

1辺aの立方体に質量mの内部構造のないNコの同種粒子からなる気体がある。
一粒子のエネルギー準位は次のように書ける。
E=h・h(nx・nx+ny・ny+nz・nz)/(8ma・a)
hはプランク定数。nx,ny,nzは自然数。

という問題で
「一分子の基底状態と励起状態の縮退度はそれぞれいくらか」
というのがテストで出たんですがわかりませんでした。
答えあわせをしてくれないので困ってます。
どなたかわかる方いませんか？教えてください（泣

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

例によって答を教えてくれない先生ですか．
どうも困ったもんですね～．

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です．
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます．

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん，nx = ny = nz = 1 の
ただ１通りだけ．
したがって基底状態の縮退度は１．

最初の励起状態は，nx,ny,nz のうち１つが２，残り２つが１というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね．
nx,ny,nz のうちどれかが２だというのだから，３通りの可能性があります．
すなわち，縮退度は３．

２番目の励起状態は，nx,ny,nz のうち２つが２，残り１つが１というやつで，
これも３通りの可能性があるから，縮退度は３．

つまり，エネルギーを決めると，nx^2 + ny^2 + nz^2 が決まるので，
これに対応する nx,ny,nz の選び方の数が縮退度です．
一般の nx^2 + ny^2 + nz^2 を指定して選び方の数を求めるのはちょっと
複雑そうです．

幾何学的には，nx,ny,nz の３次元空間で，球の半径 nx^2 + ny^2 + nz^2 を
決めたとき，その球面が通る格子点の数はいくつか，と言う問題になっています．

通常は，a が十分大きいとして，エネルギーの連続極限をとってしまいますが，
そこらあたりまで要求されているんでしょうか？

それから，もし粒子が電子だとすると，nx,ny,nz を指定しても，
その他にスピンの自由度２があります．
スピンまで考慮すれば，縮退度は上の計算の２倍になります．

お礼

どうもsiegmundさん。ほんと毎度お世話になります。
そうです、例の先生です（苦笑）

問題をよく見ると「基底状態と第一励起状態のみを考慮すれば十分であるとする」
という断り書きがありました。
小問集合のうちの一つなのでそんなに深く考えないでよいみたいです。

助かりました。ありがとうございましたっ。