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量子論について

調和振動子のシュレディンガー方程式の基底状態と第一励起状態のエネルギー準位と波動関数を求めなさい。 この問題の趣旨と答えがわかりません。 教えてください。

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まず、シュレディンガー方程式を整理すると、 　d^2u/dt^2 + 2m/h^2(E - 1/2・mω^2)u = 0　　　　（１） という２階の微分方程式になります。 ここで、uは波動関数、h=プランク定数/2π このままですと、計算が大変なので、 　ξ = αx、　α = √(mω/h)、　λ = 2E/hω （２） として、（１）を書き換えると、 　d^2u/dt^2 + (λ-ξ^2)u = 0　　　　 （３） （３）の微分方程式を解けばいい（ニコニコ）。 （３）を解くのは、実は、結構、大変。 そこで、 　u = e^(-1/2・ξ^2)・H(ξ) と仮定して、（３）の微分方程式を書き換えると、 　d^2H/dx^2 - 2ξdH/ξ + (λ-1)H = 0　　　　　（４） となるので、これの級数解を求める・・・。 ガンバレ～！！ 質問者さんの数学力がどの程度なのか知らないのですが、 たぶん、解けないと思うので・・・、 たとえば、 http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMI10/QMI10_chap09.pdf などをご覧になってください。 ここでは、ξがsになっているけれどもね。 ここに求めるものは全て出ています。 ちなみに、 基底状態はλ=1、第一次励起状態はλ=3です。 微分方程式は解けなくても、 エネルギー準位だけは 　λ = 2E/hω の式から出てきます。 Hの正体は、エルミート多項式と呼ばれるものです。 この微分方程式の解き方は、他にもあることはあるのだけどね。 これが一番オーソドックスな解き方です。

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質問者からのお礼

ありがとうござます。 私の数学力だと確かにきついですね（大学一年汗） これを参考に試験対策頑張ります。

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