【重力を考慮した場合の気体の分布】 マクスウェル－ボルツマン分布則

質問

テスト対策で，学校の教科書（戸田盛和著『物理入門コース７　熱・統計力学』岩波書店　p.117～）を読んで疑問に思ったことがあります。他の参考文献を探しても中々理解できるのが見つかりません。誰か助けてください。

重力を考慮した場合，力学的エネルギーは運動エネルギー＋位置エネルギーと求めるため，分子の(x,y,z)座標と速度成分を同時に考え，6次元の空間として考える事は理解できました。
そして問題はマクスウェル－ボルツマン分布則なのですが・・・
f(x,y,z,vx,xy,xz)dxdydzdvxdvydvz = C exp(-ε/kT)dxdydzdvxdvydvz
　* ε = m/2(vx^2 + vy^2 + vz^2) + φ(x,y,z)

Cが定数なのは解るんですけど，実際にCを求めてみたら如何なるんでしょうか？
自分なりに求めてみたのですが，求める度に違う値になり全く持って自信がありません。一応，C = (mg/2kTS)*(m/2kTπ)^(3/2)　と言う目茶苦茶な値になりました；；断面積Sの無限に高い容器に入れた場合として考えたらこうなりました。。。

また，この場合において力学的エネルギーの平均値はどのように求めればいいのでしょうか？また，これによって求められた値は，重力を考慮しない理想気体の力学的エネルギーの平均値(3kT/2)と違う値になるそうです。・・・何故そうなるんですか？

とても混乱しているので解りにくい質問でごめんなさい。
お願いします。

回答No.6

ryn

> (3mg/4kTπ) + {(mg)^2 / kT}*(m/2kTπ)^(3/2)
> となりました・・・。
こちらは，次元がエネルギーの次元になっていないので間違っています．

> （平均値）* (1/C) ÷ //dxdy = /(m/2)vx^2 * exp(-mvx^2/2kT)dvx + /(m/2)vy^2 * exp(-mvy^2/2kT)dvy + /(m/2)vz^2 * exp(-mvz^2/2kT)dvz + /mgz * exp(-mgZ/kT)dz
この段階で既に間違えています．
　∫(m/2)vx^2*exp[-m/2kT*vy^2]*exp[mg/kT*z]dvxdvydvzdz
のような項もあるので，上記の足し算にはなりません．

先程の規格化定数はわざわざ変数変換しなくても
デカルト座標のままでやればよいですが，
こちらは計算が楽になるので変数変換します．
<E>/(CS)
= ∫{(m/2)(vx^2 + vy^2 + vz^2) + mgz}*exp[-m/2kT*(vx^2 + vy^2 + vz^2) - mg/kT*z]dvxdvydvzdz
= ∫{(m/2)v^2 + mgz}*exp[-m/2kT*v^2 - mg/kT*z]*(v^2*sinθ)dvdθdφdz
= 4π ∫v^2*{(m/2)v^2 + mgz}*exp[-m/2kT*v^2 - mg/kT*z]dvdz
= 2πm ∫v^4*exp[-m/2kT*v^2]dv * ∫exp[-mg/kT*z]dz
　　+ 4πmg∫v^2*exp[-m/2kT*v^2]dv * ∫z*exp[-mg/kT*z]dz
= 2πm*(kT/mg) ∫v^4*exp[-m/2kT*v^2]dv
　　+ 4πmg*(kT/mg)^2 ∫v^2*exp[-m/2kT*v^2]dv
= (2πkT/g)*(3kT/m)*(kT/m) ∫exp[-m/2kT*v^2]dv
　　+ 4πmg*(kT/mg)^2*(kT/m) ∫exp[-m/2kT*v^2]dv
= {3(kT)^2/(mg)} * (2πkT/m) * (1/2)√(2πkT/m)
　　+ 4πgkT*(kT/mg)^2 * (1/2)√(2πkT/m)
= {3(kT)^2/(mg)} * (2πkT/m)^{3/2} + {(kT)^2/(mg)} * (2πkT/m)^{3/2}
となるので，エネルギーの平均値は
　<E> = (3/2)*kT + kT = (5/2)*kT
となることがわかります．

第1項の (3/2)kT が運動エネルギーから出てくる項，
第2項の kT は位置エネルギーから出てくる項となっています．

数式頑張って読んでください＾＾；

回答No.5

ryn

まずは規格化定数から．

> C = (m/2kTπ)^(3/2) * (mg/SkT)
ＯＫですね．

ここでは，一部違うやり方をしてみます．
1 = C ∫exp[(-m/2kT)(vx^2 + vy^2 + vz^2)]dvxdvydvz * /exp{(-m/kT)mgz}dz * //dxdy
ここで，
　vx = vsinθcosφ
　vy = vsinθsinφ
　vz = vcosθ
のように変数を変換すると
（積分範囲は 0≦v<∞, 0≦θ≦π, 0≦φ≦2π）
1 = C ∫exp[(-m/2kT)*v^2]*|J|dvdθdφ * ∫exp[-(mg/kT)*z]dz * ∬dxdy
　= CS*(kT/mg) ∫exp[(-m/2kT)*v^2]*|J|dvdθdφ
　= CS*(kT/mg) ∫v^2*exp[(-m/2kT)*v^2]*sinθ dvdθdφ
　= 4πCS*(kT/mg) ∫v^2*exp[(-m/2kT)*v^2]dv
　= 4πCS*(kT/mg)*(kT/m)∫exp[(-m/2kT)*v^2]dv　　← I[1] = 1/(2a)*I[0]
　= 4πCS*(kT/mg)*(kT/m)*(1/2)√(2πkT/m)
　= CS*(kT/mg)*(2πkT/m)*√(2πkT/m)
　= CS*(kT/mg)*(2πkT/m)^{3/2}
となり，同じ結果を得ます．

回答No.4

ryn

計算が大変なのでいくつか準備をしておきます．

まずは，積分範囲 0～∞ のとき
　∫x*exp[-ax]dx = (1/a)∫exp[-ax]dx = (1/a)^2
となる．

同じく，積分範囲を 0～∞ として
　I[n] = ∫x^{2n}*exp[-ax^2]dx
のように I[n] を定義すると
　I[n+1]
= ∫x^{2n+2}*exp[-ax^2]dx
= ∫x^{2n+1}*{-1/(2a)*exp[-ax^2]}'dx
= 1/(2a)*∫(2n+1)x^{2n}*exp[-ax^2]dx
= (2n+1)/(2a)*I[n]
となる．

例えば
　∫x^4*exp[-ax^2]dx
= I[2]
= 3/(2a)*I[1]
= {3/(2a)}*{1/(2a)}*I[0]
= {3/(2a)}*{1/(2a)}*(1/2)*√(π/a).

さらに，
　x = rsinθcosφ
　y = rsinθsinφ
　z = rcosθ
の変換によるヤコビアンは
　|J| = r^2*sinθ
となる．

回答No.3

ryn

何度もすみません．

こちらでも計算ミスをしていたかもしれません．
回答者側から途中式を全部書いてしまうと
規約違反になってしまうので，
補足にでも途中式を書いていただければ，
こちらの式と合わせてみます．

補足

遅くなってすいません。
丁寧に質問に対応していただいて有難うございます。

高さzでの速度が(vx,vy,vz)である粒子について考えた。
また，意思エネルギーの原点を z=0 と 重力g とした。

力学的エネルギー ε = m/2(vx^2 + vy^2 + vz^2) + mgz　と書ける。

とりえる全ての確率の和をとると１なので
1 = C ////// exp(-ε/kT)dxdydzdvxdvydvz
= C ///exp{(-m/2kT)(vx^2 + vy^2 + vz^2)}dvxdvydvz * /exp{(-m/kT)mgz}dz * //dxdy

1/C = (2kTπ/m)^(3/2) * [(-kT/mg) * exp(-mgz/kT)] * S
（z = 0～∞，　底面積Sとおいた）

1/C = (2kTπ/m)^(3/2) * {0 - (-kT/mg) * 1} * S
= (2kTπ/m)^(3/2) *(kT/mg) * S

C = (m/2kTπ)^(3/2) * (mg/SkT)

・・・て，最初の質問で出した答えと違いますね；

ついでに力学的エネルギーの平均値は
////// ε * C exp(-ε/kT)dxdydzdvxdvydvz より

（平均値）* (1/C) ÷ //dxdy = /(m/2)vx^2 * exp(-mvx^2/2kT)dvx + /(m/2)vy^2 * exp(-mvy^2/2kT)dvy + /(m/2)vz^2 * exp(-mvz^2/2kT)dvz + /mgz * exp(-mgZ/kT)dz

（平均値）* (1/CS) = 3 * (1/2)*(kT/m)* √(2kTπ/m) + mg

（平均値） = SC *{ (3kT/2m)√(2kTπ/m) + mg}
　　　　　 = (3mg/4kTπ) + {(mg)^2 / kT}*(m/2kTπ)^(3/2)
となりました・・・。

あってますかね？見にくくてスイマセン。

回答No.2

ryn

寝ぼけておかしなことを書いてますね．
　(mg/2kTS)*(m/2kTπ)^(3/2)　
であってます．

お礼

ありがとうございます！
物凄く自信が無かったので助かりました。

回答No.1

ryn

> C = (mg/2kTS)*(m/2kTπ)^(3/2)　
ほぼ合ってるのでミスプリでしょうか？
　(mg/2kTS)*(m/2kTπ)^(3/2)
のようになります．

> 力学的エネルギーの平均値はどのように求めればいいのでしょうか？
教科書にも書いてあると思いますが
　∫ε*C*exp(-ε/kT)dxdydzdvxdvydvz
を計算してください．

> 重力を考慮しない理想気体の力学的エネルギーの
> 平均値(3kT/2)と違う値になるそうです。
> ・・・何故そうなるんですか？
当然，重力の位置エネルギー分が加算されるので
3kT/2 より大きくなります．
上に書いた式を実際に計算してみてください．
　3kT/2 + ???
という形になります．
計算が正しければ，???の部分は納得のいく形になるはずです．