複素関数の質問です。

質問

問題の(1)と(2)はこれであっていますか？
(3)と(4)が分からなかったので教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

(1) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とする。
コーシーリーマンの関係式より
ux=vy, uy=-vx-(1)
またf(z~)=u(x,v)-iv(x,y)より
ux=-vy, uy=vx
よってux=uy=vx=vy=0となるので、u(x,y)とv(x,y)は定数となり、f(z)は定数。

(2) |f(z)|=√u^2(x,y)+v^2(x,y)

g(x,y)=|f(z)|=√u^2(x,y)+v^2(x,y)とすると
gx=(ux+uy)/g(x,y)
gy=(vx+vy)/g(x,y)

g(x,y)は定数なので
ux=-uy, vx=-vy
これらと(1)からux=uy=vx=vy=0となるので、u(x,y)とv(x,y)は定数となり、f(z)は定数。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

正則の定義)
f(z)は複素平面上の開集合Dで定義され,複素数値をとる関数とする。
f(z)がDの各点で微分可能なとき,f(z)はDで正則であるという。
(a)定数関数Cは正則
..証)定数関数Cは微分可能でその微分はC'=0だからCは正則
(b)f(z),g(z)が両方Dで正則ならば
(b1)f(z)-g(z)は正則
(b2)f(z)*g(z)は正則
..証)f(z)*g(z)は微分可能でその微分は{f(z)*g(z)}'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)だからf(z)*g(z)は正則
(b3)z∈D→f(z)≠0ならば1/f(z)は正則
..証)1/f(z)は微分可能でその微分は{1/f(z)}'=-f'(z)/{f(z)}^2だから1/f(z)は正則

a>0
D={z||z|≦a}
f(z)をDを含むある領域で正則とする
(1){f(z)}~もDで正則とする
f(z)=u+ivとする。
f(z)は正則だから
コーシーリーマンの関係式より
ux=vy,uy=-vx
また{f(z)}~=u-iv
も正則だから
コーシーリーマンの関係式より
ux=-vy,uy=vx
よってux=uy=vx=vy=0となるので,uとvは定数となりf(z)は定数

(2)
|f(z)|=C=定数だから
|f(z)|^2=f(z){f(z)}~=C^2=定数

f(z)=0となるzがあるとき
0=|f(z)|=C
f(z)=0(定数)となる

|z|≦aでf(z)≠0のとき
{f(z)}~=C^2/f(z)
(a)から定数関数C^2は正則
f(z)≠0で(b3)から1/f(z)は正則
(b2)からC^2*1/f(z)=C^2/f(z)は正則
{f(z)}~は|z|≦aで正則だから(1)から
f(z)は定数

(3)
f(z)は有界領域|z|≦aで正則
|z|≦aで|f(z)|は最大値をもつ
f(z)≠定数だから
(最大絶対値の原理)から
|z|<aで|f(z)|が最大値をとることはないから
|z|=aで最大値|f(z)|=Cをとるから
|z|≦aで|f(z)|≦C
C=0ならば
|z|≦aで|f(z)|≦0
|z|≦aで|f(z)|=0
|z|≦aでf(z)=0(定数)となって
f(z)≠定数に矛盾するから
C≠0
C>0

(4)
|z|<aでf(z)≠0
と仮定し
h(z)=1/f(z)
とすると(b3)から
h(z)は有界領域|z|≦aで正則
|z|≦aで|h(z)|は最大値をもつ
h(z)≠定数だから
(最大絶対値の原理)から
|z|<aで|h(z)|が最大値をとることはないから
|z|=aで最大値|h(z)|=|1/f(z)|=1/Cをとるから
|z|≦aで|h(z)|=|1/f(z)|≦1/C
C≦|f(z)|≦C
|f(z)|=C(定数)で(2)から
f(z)=定数となって
f(z)≠定数に矛盾するから
f(z)=0となる|z|<aが存在する

回答No.1

muturajcp

a>0
f(z)を|z|≦aを含むある領域で正則とする
(1)
f(z~)=u(x,y)-iv(x,y)ではなく
{f(z)}~=u(x,y)-iv(x,y)です
それ以外はあってます

(2)
gx=(ux+uy)/g(x,y)ではなく
gx=(u*ux+v*vx)/g(x,y)です
gy=(vx+vy)/g(x,y)ではなく
gy=(u*uy+v*vy)/g(x,y)です
ux=-uy,vx=-vyの代わりに
u*ux+v*vx=0
u*uy+v*vy=0
だから
ux*vy-vx*uy=0
です

|f(z)|=C=定数だから
|f(z)|^2=f(z){f(z)}~=C^2=定数
f(z)=0となるzがあるとき
0=|f(z)|=C
f(z)=0(定数)となる
|z|≦aでf(z)≠0のとき
{f(z)}~=C^2/f(z)
({f(z)}~)'=-(C^2)f'(z)/{f(z)}^2
だから
{f(z)}~は|z|≦aで正則だから(1)から
f(z)は定数

(3)
C≧0
|z|=aで|f(z)|=C
f(z)≠定数
とする
C=0ならば
|z|=aで|f(z)|=C=0
f(z)=0
だから一致の定理から
|z|≦aでf(z)=0(定数)となって
f(z)≠定数に矛盾するから
C≠0

C>0
f(z)は有界領域|z|≦aで正則
|z|≦aで|f(z)|は最大値をもつ
f(z)≠定数だから
(最大絶対値の原理)から
|z|<aで|f(z)|が最大値をとることはないから
|z|=aで最大値|f(z)|=Cをとるから
|z|≦aで|f(z)|≦C

(4)
|z|<aでf(z)≠0
と仮定し
h(z)=1/f(z)
とすると
h'(z)=-f'(z)/{f(z)}^2
だから
h(z)は有界領域|z|≦aで正則
|z|≦aで|h(z)|は最大値をもつ
g(z)≠定数だから
(最大絶対値の原理)から
|z|<aで|h(z)|が最大値をとることはないから
|z|=aで最大値|h(z)|=|1/f(z)|=1/Cをとるから
|z|≦aで|h(z)|=|1/f(z)|≦1/C
C≦|f(z)|≦C
|f(z)|=C(定数)で(2)から
f(z)=定数となって
f(z)≠定数に矛盾するから
f(z)=0となる|z|<aが存在する

定理(最大絶対値の原理)
f(z)が領域Dで正則でf(z)≠定数ならばDの内部において|f(z)|が最大値をとることはない
証明)
Dの内部の1点bでf(z)が最大値|f(b)|=Mをとったとする。
bと∂Dとの距離をRとし,0<r<Rである任意のrをとれば
f(b)={1/(2πi)}∫_{|ζ-b|=r}{f(ζ)/(ζ-b)}dζ
={1/(2π)}∫_{0～2π}f(b+re^{iθ})dθ
M=|f(b)|≦{1/(2π)}∫_{0～2π}|f(b+re^{iθ})|dθ≦M
したがって
{1/(2π)}∫_{0～2π}|f(b+re^{iθ})|dθ=M
f(b+re^{iθ})は連続だから
|f(b+re^{iθ})|=M
だから
|z-b|=rとなる任意のzに対して|f(z)|=M
rは任意だから
|z-b|<Rで|f(z)|=M(定数)
(2)から
|z-b|<Rでf(z)=定数
一致の定理により
D全体でf(z)=定数となって
f(z)≠定数に矛盾するから
Dの内部において|f(z)|が最大値をとることはない

お礼

すいません...分からない部分がありました。
{f(z)}~)'=-(C^2)f'(z)/{f(z)}^2
だから
{f(z)}~は|z|≦aで正則
はなぜ言えるのですか？

補足

すいません...分からない部分がありました。
{f(z)}~)'=-(C^2)f'(z)/{f(z)}^2
だから
{f(z)}~は|z|≦aで正則
はなぜ言えるのですか？