統計力学。最も確からしい値について

質問

著者： 久保亮五 大学演習熱学・統計力学 修訂版
P239 問18 からの質問です。
単原子分子N個からなる理想気体が温度Tのカノニカル分布をもつとき、その全エネルギーEの最も確からしい値E*を求め、カノニカル分布による平均値E'に一致することを確かめよ。

という問題の解説で、
理想気体の状態密度はE^{(3N/2)-1}に比例することが分かっているので、
exp(-E/kt)E^{(3N/2)-1} = max
を与えるE*は、(N>>1)両辺の自然対数をとって
-E/kT + 3NlogE/2 =max
から、両辺をEで偏微分すると、
-1/kT + 3N/2E* =0
となり、E*=3NkT/2 となる。

なのですが、最初の
exp(-E/kt)E^{(3N/2)-1} = max
の意味がわかりません。
なぜ状態密度とボルツマン因子をかけたのでしょうか。

最も確からしい値α*というのは
エントロピー S(E,N,V,α)=max
になるということでした。
エントロピーというのはボルツマンの関係式から
S=klogW (W:エネルギーがE～E+ΔE 中に存在しうる微視的状態数) です。
また、Wというのは状態密度Ωを用いるとW=ΩdE です。

自分が思うに、
exp(-E/kt)E^{(3N/2)-1}　の部分はWのことだと思いました。
しかし、ボルツマン因子に状態密度をかけたものが状態数になる意味がわかりません。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

>logをとってEで微分することでlog(dE)の部分が消えるから、結局
>E^{(3N/2)-1}exp(-E/kT)

まぁ、間違った事は言っていないとは思いますが、確率ではなく確率密度を考えていると言った方が物理的には良いでしょう。

後半をきちんと読んでいませんでしたが、
>エントロピー S(E,N,V,α)=max
>S=klogW (W:エネルギーがE～E+ΔE 中に存在しうる微視的状態数)
これが「最も確からしい値」の定義であるのなら、exp(-E/kT)の因子は、熱浴の状態数(密度)から出てくる事になるはずです。

お礼

なるほど。
なんとか理解できそうです。

eatern27さん、ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

例えば、離散的なエネルギーしか取らない場合であれば、

系のエネルギーがEである確率p(E)∝(エネルギーがEである状態の数)*exp(-E/kT)

を最大にするEが最も確からしい値だ、と言っている事になるのですが、これなら理解できますか？

補足

返答ありがとうございます。
exp(-E/kT)というのは、エネルギーがEという状態になる確率に比例する因子で、それにエネルギーがEになる状態数を掛けるということなので、たしかにこれは系のエネルギーがEである確率p(E)になりますね。

この問題では、エネルギーがEである状態の数というのは
E^{(3N/2)-1}dE
なので、これにexp(-E/kT)をかけてp(E)とし、これを最大にするものを求める際に、logをとってEで微分することでlog(dE)の部分が消えるから、結局
E^{(3N/2)-1}exp(-E/kT)
を最大にするものを考えるという解釈で良いのでしょうか？