ボルツマン因子について

質問

統計物理の分野において、ボルツマン因子(exp(-Ei/τ))や、ギブス因子というものが出てきて、ある状態の確立に比例する(テーラー展開等によって得られた結果)…という事項が出てくるのですが、これは、これらボルツマン因子等における数学的な意味合いであって物理的な意味合いでは無いと思い、より物理的な意味合いを考えているのですが…浅学でしていまいちよくわかりません。

どなたかボルツマン因子の物理的な意味合いを教えていただけるでしょうか？また、分配関数(Z=Σexp(Ei/τ))は規格化定数といった意味合い以外にあるでしょうか？？

記号について、Ei=状態iにおけるエネルギー　τ=kT(k；ボルツマン定数　T；絶対温度)　としました。また、Σは状態iについて足し合わせましたm_ _m

回答No.2

drmuraberg · ベストアンサー

ボルツマン因子は以下のような考察から簡単に導出できます。

温度Ｔの外界に接する系Ａ，Ｂがあり、両者の運動が独立であるとする。
A,Bがエネルギ状態Ea,Ebにある確率をそれぞれPa(Ea),Pb(Eb)とすれば、
ABが１つの系としてE=Ea+Ebのエネルギを持つ確率P(E)は
P(E)=Pa(Ea)Pb(Eb) 　ただし　　E = Ea + Eb

この式をEaで微分すると
dP(E)/dEa = {dPa(Ea)/dEa}*Pb(Eb) = dP(E)/dE*dE/dEa = dP(E)/dE
つまり
dP/dE = Pb*dPa/dEa
両辺をP=PaPb で割ると
（dP/dE）/P = (dPa/dEa)/Pa
左辺はEだけの、右辺はEaだけの関数であるから、この式が成立する
ためには両辺がある定数に等しくなければならない。
（dP/dE）/P = const = -β

P(E) = const* exp(-βE)

つまり熱的に接触する熱平衡にある系がエネルギＥを持つ確率として
求まります。
βは気体分子運動論から 1/kTと定められます。
exp(-E/kT)は統計力学の計算で頻繁に出てくるのでボルッマン因子と
呼ばれますが、今日ではこの呼び方はあまり一般的では無いようです。

確率ですから可能なエネルギEの全てに付いての積分を取り規格化する
必要が有ります。
この積分（和）が分配関数と呼ばれますが、物理的な意味は可能な
エネルギEを取り得る状態の数です。
No.1の回答に有るように分配関数からは種々の熱力学的量が求められます。

お礼

お礼が遅くなってしまい大変申し訳ありません。

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

htms42

ある状態に分布する粒子の数ｎ１とそれよりもエネルギーがＥ大きい状態に分布する粒子の数の比ｎ２／ｎ１がｅｘｐ(－Ｅ／ｋＴ)になります。

これを物理的な意味であると考えてはいけないのですか。

＞ある状態の確立に比例する(テーラー展開等によって得られた結果)…という事項が出てくるのですが

この因数をテーラー展開ででてきたものと考えているのでしたら物理的な意味があるものだとは理解できなくなるかもしれません。

ボルツマン分布の導出はたいていの統計力学の本には載っているはずです。
全エネルギー一定、粒子数一定の条件で実現確率の一番高い分布になっています。場合の数Ｗを最大にするような分布です。
普通はラグランジュの未定乗数法を使ってこの条件付の最大値の問題を解いています。

Ｗが最大値をとっているときのｌｎＷはエントロピーに結びつきます。温度はそこからでてきます。

分配関数はＺ＝Σｅｘｐ（－βＥｉ）　（β＝１／ｋＴ）です。
規格化定数です。これを特に分配関数と呼んでいるのはエネルギーの平均値が
<Ｅ>＝ΣＥｉｐｉ＝－（ｄＺ／ｄβ）／Ｚ
で与えられるからです。
もしエネルギー順位が等間隔であればＥｉ＝ｉεです。
Ｚは等比数列の和になりますからすぐに求められます。βでの微分もすぐにできます。

こういうことも教科書には載っているはずです。

お礼

ご回答ありがとうございます！

>>普通はラグランジュの未定乗数法を使って…
そのような解法があるとは知りませんでした。もっと勉強いたします。
ありがとうございました。

質問が良くなかったようなので、経緯を書かせていただきます。

実は去年に統計に精通している友人に教えてもらっていた際に、
「分配関数(ギブス和だったかもわかりません…)って何かわかってる？」と言われ、

「ある状態である確率がボルツマン因子に比例することから得られた規格化定数だー」と言ったところ、

「それは数学的な意味合いであって、物理的な意味合いではない。」とばっさり切られました…

それから分配関数についてずっと考えているのですが、いまだに規格化定数という意味以外の考えが浮かびません。

もしよろしければ、分配関数について規格化定数以外の意味について」ご教授お願いしますm_ _m