フェルミ準位

質問

エネルギーEとE+dEの間にある電子の数n(E)dEは
n(E)dE=Z(E)F(E)dE
Z(E):単位体積、単位エネルギーあたりの状態密度
F(E):フェルミ・ディラックの分布関数
F(E)=1/(1+exp[(E-E_f)/kT])
T:絶対温度
E_f:フェルミ準位
電子の状態密度は
Z(E)dE=(4π/h^3)*(2m)^(3/2)e^(1/2)dE
m:固体中での電子の有効質量 h:プランク定数

T=0Kでは
n=(4π/h^3)*(2m)^(3/2)∫[0～E_f0]e^(1/2)dE
E_f0:T=0KのときのE_f
変形するとE_f0=(h^2/2m)(3n/8π)^(2/3)
T>0Kのときは
n(E)=∫[0～∞]Z(E)dE/(1+exp[(E-E_f)/kT])

ここでE_f>>kTとすると
E_f≒E_f0[1-(π^2/12)(kT/E_f0)^2]
となるのですが、この最終式を導くにはどうしたらいいのでしょうか。とくに「１２」という分母がどこから出てくるのかが気になります。

回答No.1

tomoki356 · ベストアンサー

フェルミ分布関数fはＴ＝０でステップ関数なので、df/dE はδ関数。ところが有限温度だとステップがぼやけるため、df/dE はガウス関数で近似出来ます。

n(E)=∫[0～∞]Z(E)dE/(1+exp[(E-E_f)/kT])

これを部分積分でdf/dE を含むように書きなおして、展開すれば、すぐ出ます。

ゾンマーフェルト展開でサーチしてみてください。

お礼

う～ん・・・なかなか定積分できないですね・・・。
ちょっと数学のほうで聞いてみます。

補足

回答ありがとうございます。お返事が遅れました。

近似してみました。
dF(E)/dE≒-(1/sqrt(2π))exp(-((E-E_f)^2/2σ^2))
F(E)=1/(1+exp[(E-E_f)/kT])の導関数にE=E_fを代入した式=-1/4kT≒(-1/sqrt(2π))
σ=2sqrt(2)kT/sqrt(π)

n(E)=4π/h^3(2m)^(3/2){[F(E)・(2/3)E^(3/2)]_0^∞-∫(0→∞)(dF/dE)(2/3)E^(3/2)dE}
=(2/(3sqrt(2π)σ))∫(0→∞)exp(-(E-E_f)^2/2σ^2)E^(3/2)dE

ここまできたんですが・・・この積分をどうやればいいものやら・・・。
「ゾンマーフェルト展開」でサーチしたんですが、なかなか載ってないですね。