ゾンマーフェルト展開

質問

エネルギーEとE+dEの間にある電子の数n(E)dEは
n(E)dE=Z(E)F(E)dE
Z(E):単位体積、単位エネルギーあたりの状態密度
F(E):フェルミ・ディラックの分布関数
F(E)=1/(1+exp[(E-E_f)/kT])
T:絶対温度
E_f:フェルミ準位
電子の状態密度は
Z(E)dE=(4π/h^3)*(2m)^(3/2)e^(1/2)dE
m:固体中での電子の有効質量 h:プランク定数

T=0Kでは
n=(4π/h^3)*(2m)^(3/2)∫[0～E_f0]e^(1/2)dE
E_f0:T=0KのときのE_f
変形するとE_f0=(h^2/2m)(3n/8π)^(2/3)
T>0Kのときは
n(E)=∫[0～∞]Z(E)dE/(1+exp[(E-E_f)/kT])

ここでE_f>>kTとすると
E_f≒E_f0[1-(π^2/12)(kT/E_f0)^2]
この式を導こうとしていたところです。
先日、回答者の方からのお力をいただきまして、
以下のように計算してみました。

フェルミ分布関数fはＴ＝０でステップ関数なので、df/dE はδ関数。ところが有限温度だとステップがぼやけるため、df/dE はガウス関数で近似できる。
n(E)=∫[0～∞]Z(E)dE/(1+exp[(E-E_f)/kT])

dF(E)/dE≒-(1/sqrt(2π))exp(-((E-E_f)^2/2σ^2))
F(E)=1/(1+exp[(E-E_f)/kT])の導関数にE=E_fを代入した式=-1/4kT≒(-1/sqrt(2π))
σ=2sqrt(2)kT/sqrt(π)

部分積分を行う。
n(E)=4π/h^3(2m)^(3/2){[F(E)・(2/3)E^(3/2)]_0^∞-∫(0→∞)(dF/dE)(2/3)E^(3/2)dE}
=(2/(3sqrt(2π)σ))∫(0→∞)exp(-(E-E_f)^2/2σ^2)E^(3/2)dE

ここでいきづまっています。3/2乗に2乗の指数関数が出てきていて、どう積分したものやらと思っております。ゾンマーフェルト展開についてのっている本だけでも紹介していただけないでしょうか。少しでも助言をお願いします。

回答No.2

tomoki356 · ベストアンサー

またまた今晩は!　
ガウス関数がかかっていれば、その頂上付近しか値が残らないですから、

Z(E) := Z(E_f) + (E-E_f) Z'(E_f) + 1/2! (E-E_f)^2 Z''(E_f) +..

と展開して、それらに項別にガウス関数をかけて積分すると？　奇数次の項はただちにゼロになりますから、偶数項だけ計算すればいいですね。

補足

２次の項までとって計算してみました。
n(E)=8(2m)^(3/2)/h^3((π/3)E_f^(3/2)+(kT)^2E_f^(-1/2))
となりましたが、
ここからどうやってE_fとE_{f0}の関係式にもっていけばいいのでしょう・・・。
n(E)の式をE_fについて解くのは困難ですし・・・。
またいきづまってしまいました・・・。

回答No.4

tomoki356

＞=比例定数*E_f0E^(1/2)dE
＞とおくと、

・・電子密度をE_f0 に置き換えるのじゃよ。これじゃダメ。

お礼

＃２さんの本の（１４．４８）の導出を見てみました。
どうやら、n(E)=8(2m)^(3/2)/h^3((π/3)E_f^(3/2)+(kT)^2E_f^(-1/2))
の第２項のE_fは０次近似のE_f0に置き換えてよさそうです。しかし・・・

＞T=0Kでは
＞n=(4π/h^3)*(2m)^(3/2)∫[0～E_f0]e^(1/2)dE
＞E_f0:T=0KのときのE_f
＞変形するとE_f0=(h^2/2m)(3n/8π)^(2/3)

この式をnについて解いても使えないですよね・・・。
このnはT=0のときの電子密度であって、
今導こうとしている式に出てくるnはT>0の場合の電子密度ですから・・・。

グライナーの本では（１４．４６）の左辺をどのように変形したのかがわからなかったです。

T=0ではなくT>0における電子密度n(E)をどうやってE_f0であらわせばいいのでしょうか？

補足

＞・・電子密度をE_f0 に置き換えるのじゃよ。これじゃダメ。

え？

n(E)=8(2m)^(3/2)/h^3((π/3)E_f^(3/2)+(kT)^2E_f^(-1/2))
の左辺をE_f0を使ってあらわすということでしょうか？どうやってやるのでしょう・・・。
仮にそれができたとしても、どのようにして「E_f=」の形にこの式を変形するのでしょうか？

回答No.3

tomoki356

#2です。
Z(E)∝E^(1/2) ですが、比例係数にEf0 が入ります。

Ｎ＝∫dE Z(E)F(E)

を計算すると?

補足

>Z(E)∝E^(1/2) ですが、比例係数にEf0 が入ります。

Z(E)dE=(4π/h^3)*(2m)^(3/2)E^(1/2)dE
=比例定数*E_f0E^(1/2)dE
とおくと、
比例定数=(8πm/h^5)(2m)^(3/2)(8π/3n)^(2/3)

あまり綺麗な式にはならないです・・・。
n(E)=8(2m)^(3/2)/h^3((π/3)E_f^(3/2)+(kT)^2E_f^(-1/2))
をE_fについて解かないと目的の式は導けないように思っていましたが、n(E)の計算が間違っているのでしょうか・・。かなり丁寧に書きながら計算したのでここまでの結果には自信があるのですが・・・。

回答No.1

ojisan7

グライナーの「熱力学・統計力学」の理想フェルミ気体の章に、計算式も省略せず、ていねいに書かれています。図書館等で読んで下さい。

お礼

おお！本当ですか？すぐによんでみます！

補足

＃１さんの本の（１４．４８）の導出を見てみました。
どうやら、n(E)=8(2m)^(3/2)/h^3((π/3)E_f^(3/2)+(kT)^2E_f^(-1/2))
の第２項のE_fは０次近似のE_f0に置き換えてよさそうです。しかし・・・

＞T=0Kでは
＞n=(4π/h^3)*(2m)^(3/2)∫[0～E_f0]e^(1/2)dE
＞E_f0:T=0KのときのE_f
＞変形するとE_f0=(h^2/2m)(3n/8π)^(2/3)

この式をnについて解いても使えないですよね・・・。
このnはT=0のときの電子密度であって、
今導こうとしている式に出てくるnはT>0の場合の電子密度ですから・・・。

グライナーの本では（１４．４６）の左辺をどのように変形したのかがわからなかったです。

T=0ではなくT>0における電子密度n(E)をどうやってE_f0であらわせばいいのでしょうか？