n次関数のグラフ

質問

g_n(x)=x(1-x)^n , h_n(x)=nx(1-x)^n ∈C([0,1])のグラフの概形の導き方を教えて頂けませんか？
あと、h_n(x)には、最大値があるらしいのですが、それもさっぱり理解できません。どうか解説よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

参考URLのフリーソフトのGRAPES(最新バージョンは6.61)でやれば簡単にグラフが描けます。nをパラメータ（増分１）にして、曲線で媒介変数表示で(x,y)=(t,n*t*(1-t)^n)（tの増分0.01、範囲0～1)でプロットしてください。n=1の時　t=x=1/2で最大、パラメータのnが増加すると、最大値のピークはt=x=1/2→0の方に移動して行きます。
最大値は{h_n(x)}'=0からt=1/(n+1)の時に最大となります。
Max=h_n(1/(n+1))=n/(n+1)*{1-1/(n+1)}^n=(n^2)/(n+1)^(n+1)
ですね。

参考URL：

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

お礼

返信遅くなって申し訳ないです。大変わかりやすかったです。しかし、２つ疑問があるのですが、いいですか？

１つ目が、なぜｎ＝１場合を考えたのですか？

２つ目が、最後の最大値は、｛1-1/n+1}＾n+1　になり、ｎが無限大にいくと、e＾-1　になりますよね？　

よろしければ、回答お願いします。

回答No.3

info22

#1,#2です。
>１つ目が、なぜｎ＝１場合を考えたのですか？
２つの関数のグラフがx=1/2で対称になるからです。
この時
g_n(x) , h_n(x)はx=1/2で最大値1/4をとります。

> ２つ目が、最後の最大値は、｛1-1/n+1}＾n+1　になり、ｎが無限大にいくと、e＾-1　になりますよね？
そうなります。

お礼

なるほど。大変勉強になりました。忙しいところありがとうございます。また、なにかありましたらよろしくお願いします。

回答No.2

info22

#1です。
最大値の計算ミスの訂正です。
Max=h_n(1/(n+1))=n/(n+1)*{1-1/(n+1)}^n={n^(n+1)}/{(n+1)^(n+1)}
={n/(n+1)}^(n+1)