方程式を解く（場合分け）

質問

aを定数とする時、次の方程式を解きなさい。
(1)aの2乗x+1=a(x+1) 　→a(a-1)x=a-1　から　　　　　　　　　　　　　解答　a=１ではないの時x=1/a a=1の時　任意の実数　a=0の時解は無い　となっているのですがなぜ？
(2)(aの2乗-1)xの2乗-(aの2乗+a)x+(a+1)=0 →(a+1)｛(a-1)x-1｝(x-1)=0から
解答では　a=±1ではない時x=1,1/a-1 a=1の時　x=1 a=-1の時　任意の実数　となっているのですが導き方が分かりません。ので教えて下さい。

回答No.2

take_5

＞(a+1)｛(a-1)x-1｝(x-1)＝0　‥‥‥(1)

先ず、全体の係数であるa+1の場合わけが最初。
（1）a+1＝0の時、条件式(1)は　0*（2x+1）*（x-1）＝0‥‥(2)となり、2x+1とx-1にどんな実数値を入れても(2)は成立する。
よって、xは任意の実数。
（2）a+1≠0の時、(1)は｛(a-1)x-1｝(x-1)＝0‥‥‥(3)となる。
ところが、a-1＝0の時は、(3)は　-(x-1)＝0となり、x＝1だけが成立。
そして、a-1≠0の時は、(3)はx＝1、or、x＝1/（a-1）。

と、なって模範解答のとおりになる。

お礼

大変良く理解できました。ありがとうございます。助かりました。

回答No.1

x-nishi

(1)
まずa=0を考えましょう。与式から0^2*x+1=0*(x+1)、すなわち1=0となり矛盾するので解なしです。
次にa=1。変形した式から0x=0となり、いかなる数でも成り立ちます。
（xは実数である、という根拠がなければ「任意の数」となります）
それ以外の時はx=(a-1)/a(a-1)=(1/a)*((a-1)/(a-1))=1/aとなりそのままx=1/aです。

とりあえずここまで。
(2)も同じように考えてみてください。