2次方程式

質問

xの２次方程式(x＾2)-2(n-1)x+3(n＾2)-3n-9=0が実数解をもつとき、解の２乗の和の最大値と最小値を求める問題で

２実数解をα、βとおくと
n=-2,-1,0,1,2となりました。

このとき２乗となる和の求めかたを誰か教えて頂けませんか？

P=(a＾2)+（β＾2)は仮に置いたと考えてよいですか？

回答No.2

Trick--o-- · ベストアンサー

今日は機嫌が悪いので全部書こう（笑

ax^2 + bx + c = 0　　　（ただし、D(= b^2 - 4ac)≧ 0）
x = α,β　のとき
α + β = -b / a
α * β = c / a

なので、解の２乗の和Pは
P = α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = (-b/a)^2 - 2(c/a)
= b^2/a^2 -2c/a

さて、問題の方程式は
a = 1, b = -2(n - 1), c = 3n＾2 - 3n - 9
なので、これを代入すると
(-2(n - 1))^2 - 2(3n^2 - 3n - 9) =
4(n^2 - 2n + 1) - 2(3n^2 - 3n - 9) =
4n^2 - 8n + 4 - 6n^2 + 6n +18 =
-2n^2 - 2n + 22
となる。
さらに、最初の方程式の解が実数解であるためには、D≧0でなければいけないので
b^2 - 4ac =
(4n^2 - 8n + 4) - 4(3n^2 - 3n - 9) =
4n^2 - 8n + 4 - 12n^2 + 12n + 36 =
-8n^2 + 4n + 40 ≧ 0
これを解いて……
-8n^2 + 4n + 40 ≧ 0
2n^2 - n - 10 ≦ 0
(2n - 5)(n + 2) ≦ 0
-2 ≦ n ≦ 2.5

つまり
-2n^2 - 2n + 22
が
-2 ≦ n ≦ 2.5
でとる値のうち、最大のものを最小のものを求めればいいわけだ。

-2n^2 - 2n + 22 を平方完成すると
= -2(n + 1/2)^2 + 45/2

上に凸のグラフになるので
n = -1/2 のとき 45/2 で最大　　（n=-1/2が範囲内にあるのを確認）
範囲の両端を代入すると
n = -2 のとき 18
n = 2.5 のとき 9/2 で最小

保証はしない。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。

回答No.1

tyun-cocco

まず、解と係数の関係より
α+β＝２(n-1)
αβ=3(n＾2)-3n-9
α^2+β^2=(α+β)^2－2αβ
これで、nに関する2次方程式ができあがるので、そこで最大最小を求めます。
ただし『実数解を持つために』判別式で、nの範囲を決めてください。