女子高生です。緊急でお願いします大変困ってます

質問

aは定数とする。次の方程式の異なる実数解の個数を調べ、そのグラフも書くこと
x４乗－２x２乗-2+a＝0

よろしくお願いします。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

＞x^4-2x^2-2+a=0
x^2=yで置換すれば与式はy^2-2y-2+a=0となり、
解くとy=[2±√{4-4(a-2)}]/2=1±√(3-a)
(ア)3-a＜0すなわち3＜aではyは実数解を持たない
のでxの実数解は0
(イ)a=3ではy=1、x=±√1=±1でxの異なる実数解
の個数は2
(ウ)a＜3かつ1-√(3-a)＞0すなわち2＜a＜3のでは
yは2個の異なる実数解1±√(3-a)をもつので、xの
異なる実数解の個数は4
(エ)a＜3かつ1-√(3-a)＜0すなわちa＜2ではyの
実数解は1±√(3-a)の2個だが、x=±√yが実数
となるのはy=1+√(3-a)だけなので、xの異なる
実数解の個数は2
(オ)a＜3かつ1-√(3-a)=0すなわちa=2のときは
yの実数解は2と0でxの実数解は±√2と0となり、
xの異なる実数解の個数は3。
　なお、グラフがaと実数解の個数のグラフなら
添付図のようになる。

お礼

詳しい解説ありがとうございました。

回答No.3

spring135

x^4-2x^2-2+a=0 (1)

x^4-2x^2-2=-a

y=x^4-2x^2-2 (2)

y=-a (3)

(1)の解は(2)(3)の交点と同じである。

(2)より

y'=4x^3-4x=4x(x+1)(x-1)

lim(x→-∞)y=∞, lim(x→∞)y=∞

(2)はx=-1,1で極小、極小値y=-3,x=0で極大、極大値y=-2

(2)とx軸の交点はｙ＝0より

x=±√(1+√3))

以上の結果を整理し、増減表を作り（2）のグラフを書くこと。

(2)(3)の交点すなわち(1)の実数解は

a<2 : 2個

a=2 : 3個(x=0は重解)

2<a<3 : 4個

a=3 : 2個(x=1,x=-1はいずれも2重解）

3<a : 0個

お礼

ありがとうございます。
助かりました。

回答No.2

noname#215361

このサイトでは、「x4乗」を「x＾4」と表わすようです。

まず、f（x）=x^4-2x^2-2+aを考えると
f'（x）=4x^3-4x=4x（x＾2-1）=4x（x+1）（x-1）
よって、ｆ（-1）=a-3が極小値、f（0）=a-2が極大値、f（1）=a-3が極小値になる

(1)a-2＜0→a＜2のとき実数解は2個
(2)a-2=0→a=2のとき実数解は3個
(3)a-2＞0→a＞2かつa-3＜0→a＜3、すなわち2＜a＜3のとき実数解は4個
(4)a-3=0→a=3のとき実数解は2個
(5)a-3＞0→a＞3のとき実数解は0個

グラフの作成について
(1)の場合には、例えばa=1とする
(2)の場合には、a=2そのままである
(3)の場合には、例えばa=2.5とする
(4)の場合には、a=3そのままである
(5)の場合には、例えばa=4とする

お礼

親切な回答ありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

まず、ｘ＾２＝ｚとおいてこの方程式を書き換えると
ｚ＾２－２ｚ－２＋ａ＝０　・・・（１）
このｚの二次方程式の解の個数を調べます。
解の判別式は
（－２）＾２－４（－２＋ａ）＝－４ａ＋１２
この値が負の場合、（１）は実数解をもたず、したがってもとの
ｘの４次方程式も実数解を持ちません。この時のａの範囲は
－４ａ＋１２＜０　より　ａ＞３　です。

判別式がゼロの場合、つまりａ＝３のとき、（１）は
ｚ＾２－２ｚ＋１＝０
（ｚ－１）＾２＝０
ｚ＝１
となり、ｘ＝±１。つまり元の方程式の解の個数は２個です。

判別式が正、つまりａ＜３のとき（１）の解は
ｚ＝（２±√（－４ａ＋１２））／２　・・・（２）
という、異なる二つの実数解を持ちます。但しｚ＝ｘ＾２なので、
ｚ＜０となる場合は元の方程式は実数解を持ちません。
そこでｚ＝０とおいてみると
（２±√（－４ａ＋１２））／２＝０
±√（－４ａ＋１２）＝－２
－４ａ＋１２＝４
ａ＝２
したがって、ａ＝２のとき（１）はｚ＝０および正の解を一つ
持つので元の方程式はｘ＝０に加えて二つの解を持ちます。
ａ＞２のとき（２）は異なる二つの正の解となるので、その
平方根であるｘは４個あります。。
ａ＜２の場合、（２）の片方は負になるので、その場合
元の方程式は実数解を持ちません。よってこの場合元の
方程式の解は２個です。

以上まとめると、
ａ＞３の場合　実数解なし（ゼロ個）
ａ＝３の場合　実数解２個
３＞ａ＞２の場合　実数解４個
ａ＝２の場合　実数解３個
ａ＜２の場合　実数解２個

グラフというのは横軸にａの値、縦軸に解の個数をとるのかな？

お礼

詳しい解説ありがとうございました。