ベクトルの定義です・・

質問

3点O,A,Bが1直線上にないとき平面OABができる。この平面OAB上の任意の点Ｐに対して
→ 　　→ 　→
OP=sOA+tOB となる実数s,tがただ1組存在する。「3点O,A,Bが1直線上にない」とする。これは
→ → 　→→ 　　　　 →　 　→　　　　　→ →
OA=a ,OB=bとすると「a≠0、b≠0でありa//b でない」
と同値である。さらにこれは
　 → →→
「αa+βb=0 ⇔α=β=0」と同値である・・・＊

とかいてあったのですが、＊のところの「同値である」がいまいち分からないんです・・　教えてください！！

回答No.18

eatern27 · ベストアンサー

ちょっと考えたみたのですが、

"x="とか"ｔ="や"a→=" とか"p→="の形にしようと思って初めて"(ベクトル)方程式"と呼ぶのではないでしょうか。

αa+βb=0 ⇔α=β=0
では、a→=とか、b→=の形にしようと思ってないから、方程式ではない。
という事でしょうかねぇ。

お礼

御礼が遅くなってしまいまして大変申し訳ございませんでした(T^T)いろいろとありまして・・毎回丁寧に本当に親切に答えていただいてもらってほんっとーに助かっています！！これからもこりずにどうか宜しくお願いします！！本当にごめんなさいです（Ｔ-Ｔ）

回答No.7

zabuzaburo

点Xを始点とし、点Yを終点とするベクトルを[XY]と書き、
またゼロベクトルを[zero]と書くことにします。

話の大前提として、点Aと点Bは異なる点であるとします。

■「点Pは直線AB上にある」
⇔「『[OP] = α[OA] + β[OB] かつ α + β = 1』を満たす実数α, βが存在する」

を出発点としましょう。
ここで用いられている点Oは、始点を揃えるためのものであり、
どんな点を選んでも差し支えないことはご存知だと思います。むしろ
[□P] = α[□A] + β[□B] (□には共通の点が入る)
とでも書くほうがイメージが湧くかもしれません。
普通は直線ABとは離れた第三者的な点を想像しますが、
何を入れたっていいのですから、□にPを入れてみましょう。
主役のP自身を始点にして考えるというのは、
主人公の目線に立って物語を読むようなものです。
映画のアクションシーンでも、
2人がもみ合うさまを外から眺めるアングルの場合と、
片方の視点から敵の姿がアップで目まぐるしく動いている場合がありますね。

bell-bellさんが#5の補足でおっしゃっている「p→を0→にする」というのは、
始点□として点Pそのものを選ぶ、ということにほかなりません。すると

■「点Pは直線AB上にある」
⇔「『α[PA] + β[PB] = [zero] かつ α + β = 1』を満たす実数α, βが存在する」

と書き直せますね。ここで注意すべきは、「α + β = 1」の部分です。
例えば 2[PA] + 3[PB] = [zero] が成り立つとき、
このままではα + β = 5となってダメなように見えます。
しかし両辺を 5 で割ってみると
(2 / 5)[PA] + (3 / 5)[PB] = [zero]
となり、この係数をα, βとしてやれば和は1になります。
唯一これができないのは α + β = 0 の場合で、
このときは両辺をゼロで割るわけには行きません。
とは言っても、AとBは異なる点である、という大前提があるので、
たとえば 2[PA] - 2[PB] = [zero]
などという事態が起こる心配はありません。
結局、α + β = 0 というのは、この状況では
実質的には α = β = 0 の場合しかあり得ないことになります。

以上のことを考慮すると、先ほどの同値関係はさらに

■「点Pは直線AB上にある」
⇔「『α[PA] + β[PB] = [zero] かつ (α, β) ≠ (0, 0)』を満たす実数α, βが存在する」

と書き直すことができます。
互いに同値の関係にある条件は、その否定同士も同値であり、

■「点Pは直線AB上にない」
⇔「『α[PA] + β[PB] = [zero] かつ (α, β) ≠ (0, 0)』を満たす実数α, βが存在しない」

さらに後半を書き直すと

■「点Pは直線AB上にない」
⇔「α[PA] + β[PB] = [zero] ならば必ず (α, β) = (0, 0)」

となります。

疑問点はぜひ補足してください。

お礼

お礼がたいっへん遅れてしまいまして申し訳ございませんでした！！こんなに丁寧に説明して頂いて本当にありがとうございました！！大変参考になりました！！これからもどうか宜しくお願いいたします（Ｔ-Ｔ）

補足

＞例えば 2[PA] + 3[PB] = [zero] が成り立つとき、
このままではα + β = 5となってダメなように見えます。
しかし両辺を 5 で割ってみると
(2 / 5)[PA] + (3 / 5)[PB] = [zero]
となり、この係数をα, βとしてやれば和は1になります。
とありますが、このように割ってそれをたしたものが1になればそれはα＋β=1の場合であるとかんがえればいいのですか？　　　そして、つまり私が補足5に書いたように考えればいいのでしょうか？

回答No.6

eatern27

＞p→を0→にするとs=t=0となり
そうなるとは限りません。
p→=s・a→+t・b→、s+t=1の
a→、b→にはa→≠b→という条件しかありません。
a→//b→の時はp→は原点を通る直線となり、a→＝0→の時は、Aが原点にあると考えられます。
このとき、sa→+tb→=0 としても、s=t=0となるとは限りません。

＞p→を0→にすると・・・「Ｐは直線AB上にない」つまり「3点P,A,Bが一直線上にない」
直線ＡＢが原点を通らないという条件を勝手に作っていませんか?

3点A(a),B(b),P(p)が一直線上にある⇔p=αa+βb、α＋β=1となる実数α、βが存在する
の対偶は
3点A(a),B(b),P(p)が一直線上にない⇔p=αa+βb、α＋β=1となる実数α、βが存在しない
です。
一直線上にない時にα+βが1にならない、と言っているだけで、α=β=0となる、とは言っていません。
したがって、この(直線の式の)命題からは
3点A(a),B(b),P(p)が一直線上にない、が「α・a→+β・ｂ→=0→　⇔α=β=0」と同値である　
とは言えないと思います。

質問の場合のa、bは一次独立(a≠0、b≠0でありa//b でない)でなければいけませんが、
補足の場合ではa≠bであればよいので、(→は省略)
そもそも、a→、b→の条件が違います。

この事を考える時にとても混乱しましたので間違いがあるかもしれません。
これは間違いじゃないか、というのがありましたら、補足に書いて下さい。

補足

ごめんなさいです・・＞a→//b→の時はp→は原点を通る直線となり、a→＝0→の時は、Aが原点にあると考えられます。
このとき、sa→+tb→=0 としても、s=t=0となるとは限りません。
のとこの意味が・・わかりません・・理解力がなくて・・変なことばかり説明させてしまってごめんなさい・・

回答No.5

eatern27

＞どのように違うのでしょうか
この質問があると思っていなかったわけではなかった(むしろ、あると思っていた)のですが、うまく説明できなかったので、さっきは省略しちゃいました。

αa+βb=0 ⇔α=β=0の方(質問の方)の言いたい事は
あまり自信はないのですが、
#４で書いた通り、要するに「係数比較をしてもよい」ということです。

p=αa+βbの方(補足の方)で言いたい事は
こっちもあまり自信はないのですが
2点A,Bを通る直線の式がp=αa+βb(α+β=1)、もしくは、p=ta+(1-t)bの形で表せるという事です。

補足

※「Ａベクトル」を「Ａ→」と書く
教科書に「2点Ａ(a→)、B(b→)を通る直線をＬとするとＬのベクトル方程式は、直線上の点をP（p→)とするとP→=s・a→+t・b→、s+t=1」とあったのですが、このp→を0→にするとs=t=0となりs+t≠1とな
るのでそのとき「p→は直線AB上にない」(?)つまり「3点P,A,Bが一直線上にない」
(?)ということを使って、「3点P,A,Bが一直線上にない」とき、これは
PA→=a→,PB→=b→とすると「α・a→+β・ｂ→=0→　⇔α=β=0」と同値である　と
いえるのかなー？とおもったのですが・・どうでしょう？？

回答No.4

eatern27

＞p=αa+βb のpのところが0　でPは直線AB上にない　つまり3点O,A,Bが一直線上にない
αa+βb=0 ⇔α=β=0という式から、O,A,Bが一直線上にないという事も分かります。その事が分かっている事に超した事はありませんが、どちらかというとそのことを言いたいのではなく、「a≠0、b≠0でありa//b でない」を満たしていれば、係数比較が出来るという事だと思います(自信無し)。

αa+βb=γa+δb ⇔ α=γかつβ=δ

とか(右辺を左辺に移項すればαa+βb=0 ⇔α=β=0と同じ式です)

２つの関係が(bell-bellさんのように考えれば)無関係とは言えないのかもしれませんが、2つの言いたい事が違うので、関係ないように思います。

補足

>2つの言いたい事が違う
とあるのですがどのように違うのでしょうか？すみません・・変な質問ばかりで・・

回答No.3

eatern27

＞p=αa+βb、α＋β=1となる実数α、β
これは、内分点、外分点の公式の応用です。
p,a,bがベクトル、tは実数。
位置ベクトルがそれぞれ→a,→bの点A,Bをt：1－tに点Ｐが内分する時
p＝ta+(1-t)b
A、Bをt：t－1(＝t：-(1－t)）に外分する時
p＝ta-(t-1)b=ta+(1-t)b
これらの式を合わせて、
α=t、β=1-tとおけば、
p=αa+βbかつ、α+β=1となる。

これと質問の内容の関係についてですが、bell-bellさんはどう考えますか?
この場合はαa+βb=pであり、質問の場合はαa+βb=0 であるので関係ないように思います。、

補足

→ → → 　 →　　　　 →　　
p=αa+βb のpのところが0　でPは直線AB上にない　つまり3点O,A,Bが一直線上にない　　といいたいのかな？と思ったのです・・が・・どうなのでしょう？

回答No.2

fushigichan

こんばんは。
＞→ → 　→→ 　　　　 →　 　→　　　　　→ →
OA=a ,OB=bとすると「a≠0、b≠0でありa//b でない」
と同値である。さらにこれは
　 → →→
「αa+βb=0 ⇔α=β=0」と同値である・・・＊

ベクトルの→を省いて書かせていただきます。
まず、a,bがゼロでないベクトルで、a,bは互いに平行でないとすると、
xa≠ybが一般に成り立ちます。
仮にxa=ybとすると、a=(y/x)bとなり、a,bが平行であることになるので、矛盾です。
xa=ybとなるときは、x=y=0でなければなりません。

また逆に、αa+βb=0 とかけるα、βが0以外で存在するときは、
αa=-βb
a=(-β/α)bとなるので、a,bは平行もしくは、どちらもゼロベクトルということになります。
これは3点O,A,Bが1直線上にないということに反するので矛盾。
よってαa+βb=0 とかけるα、βは、α＝０、かつβ＝０しか存在しない。

したがって。二つのことは、同じことをあらわしているといえます。

補足

この質問した文章は教科書に載っていた解説なのですが、これが書いてあるすぐ近くに
　　 　 →　→　 →　　　　　　　　　
「3点A(a),B(b),P(p)においてPが直線AB上にある
　→ 　→ →
⇔p=αa+βb、α＋β=1となる実数α、βが存在する

とあったのですが、これは私の質問した内容に関係した文章なのでしょうか？もしそうならどういうふうに関係しているか、教えてください！！お願いします！！

回答No.1

digitalian

> 　 → →→
> 「αa+βb=0 ⇔α=β=0」と同値である・・・＊

を翻訳すると……

1. もし「係数α×ベクトルa＋係数β×ベクトルb」がゼロならば、係数αと係数βはどちらも必ず0になります。

その逆も成立するので、

2. もし「係数αと係数βはどちらも0」ならば、「係数α×ベクトルa＋係数β×ベクトルb」は必ずゼロになります。

1.や2.の関係が成立するのであれば、それは「3点O,A,Bが1直線上にない」ということであり、「3点O,A,Bが1直線上にない」のであれば、1.や2.の関係が成立します。

……という意味です。

お礼

お礼が遅れてしまいまして、大変失礼いたしました(T-T)大変参考になりました！！本当に有難うございました！！これからも懲りずにどうか宜しくお願いいたします！！