逆三角関数の方程式

質問

Arcsinx＋2Arcsin1/4＝π/2
という問題なのですが、解いても解答と合いません。
自分なりに立てた途中式は

Arcsinx＝Arcsin1-2Arcsin1/4
α＝Arcsin1、β＝2Arcsin1/4とおくと
sinα＝1
2sinβ＝1/4 sinβ＝1/8
Arcsinx＝α-β　　x＝sin(α-β)
x＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝1×√63－0×1/8
＝√63

ですが実際の解答は　7/8　です。
どこから間違えたのかわかりません・・。解き方をご教授お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

> 2sinβ＝1/4 sinβ＝1/8
間違っています。正しく計算すると
2sinβ=2*sin{2*arcsin(1/4)}
=2*2*(1/4)*(√15)/4
=(√15)/4
となります。

普通にxを計算するには
arcsin(x)=(π/2)-2*arcsin(1/4)
から

x=sin{(π/2)-2*arcsin(1/4)}
=cos{2*arcsin(1/4)}
=1-2*[sin{arxsin(1/4)}]^2
=1-2*(1/4)^2
=1-(2/16)=7/8

と計算ができます。

検算）x=7/8のとき
sin{arcsin(x)＋2*arcsin(1/4)}
=sin{arcsin(7/8)＋2*arcsin(1/4)}
=(7/8)cos{2*arcsin(1/4)}+{(√15)/8}sin{2*arcsin(1/4)}
=(7/8){1-2(1/4)^2}+{(√15)/8}*2(1/4){(√15)/4}
=1
0<arcsin(7/8)＋2*arcsin(1/4)<πより
arcsin(7/8)＋2*arcsin(1/4)=π/2

お礼

解決しました！
詳しく説明していただきありがとうございます。

回答No.1

rabbit_cat

2sinβ＝1/4 sinβ＝1/8
ここが違うような気がします。

β＝2Arcsin(1/4)
と置いたなら
β/2 = Arcsin(1/4)ですから、
sin(β/2) = 1/4で
sin(β) = 2*1/4*√(1-1/16) = (√15)/8
ですよ。

回答の流れはだいたいＯＫだと思います。

お礼

解決しました！
分かりやすい説明ありがとうございます。