無限積分

質問

∫x^3/(e^x-1)dx 積分範囲:0～∞の積分方法を教えて頂けませんか？

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
A#2の補足です。

A#2の後者のケースの積分は

参考URLに掲載の
特殊関数PolyLog関数Li[n](x)≡polylog(n,x)

を使わないと積分不可能ですが、

A#2の積分サイトの積分では ln(1-e^x)が含まれますが、積分範囲のx>0の範囲でlnの真数が負になって上手くありません。

これを避けるために、以下のように変形することで解決できます。

∫[0,∞] x^3/{(e^x)-1}dx
=∫[0,∞] [x^3/{1-e^(-x)}-x^3]dx
=[x^3*ln(1-exp(-x))-3*x^2*polylog(2, exp(-x))-6*x*polylog(3, exp(-x))-6*polylog(4, exp(-x))] [0↑∞]
=(π^4)/15≒6.493939

参考URL：

http://documents.wolfram.com/v4-ja/RefGuide/PolyLog.html

お礼

大変参考になりました。ありがとうございます!(^0^)/

補足

すいません。以前質問した者なんですが、A#2さんの回答で

∫[0,∞] [x^3/{1-e^(-x)}-x^3]dxの積分が、
[x^3*ln(1-exp(-x))-3*x^2*polylog(2, exp(-x))-6*x*polylog(3, exp(-x))-6*polylog(4, exp(-x))] [0↑∞]　
↑なぜこのようになるのかがわからないのですが教えて頂けないでしょうか？参考URLも見たのですが、わかりません(>_<);;

回答No.4

info22

#2,#3です。
A#3の補足質問について

> ∫[0,∞] [x^3/{1-e^(-x)}-x^3]dxの積分が、
> [x^3*ln(1-exp(-x))-3*x^2*polylog(2, exp(-x))-6*x*polylog(3, exp(-x))-6*polylog(4, exp(-x))] [0↑∞]　

ここで、説明するにはpolylog関数の定義からはじめ内容が膨大になり、少し程度が高くなり、質問の本質から外れますので止めておきます。
(高校レベルでは解析的に積分不可能の範囲、大学レベルでは数式処理ソフトを利用された方がいいでしょう。)
大抵の大学では、教職員や学生・院生ならライセンス導入されている数式ソフトMapleやMathematicaが無料で利用できるはずです。)
あなたが大学生以上で更に詳しい情報を得たければGoogleサイトで「Polylogarithm Function」で検索してお調べになるといいと思います。

数学ソフトMapleの場合
f(x)=x^3/(exp(x)-1)
をそのまま不定積分すると「x^3*ln(1-exp(x))」の項が出てきて、積分範囲のx=0～∞ではx>0で対数が定義されません。
そこで
f(x)=x^3*exp(-x)/{1-(exp(-x)}と変形しておいてMaple等で不定積分してやると[ ]内の不定積分が得られます。
逆に[ ]内を微分してやるとf(x)に戻りますから、不定積分に戻ります。
ですから、質問にある積分の[　]内の不定積分の式は正しいですし、不定積分の式にx=0とx=∞の値を入れた式もlimitをとると収束しますのでA#3に書いた定積分結果が得られます。
なお、Polylog関数の関数値は次のサイトで計算してくれます。
http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=PolyLog

Polylog関数は無限級数や積分形式で定義される特殊関数（超越関数）です。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html

回答No.2

info22

分母に括弧を付けて関数を明確に表記して下さい。
∫[0→∞] x^3/{e^(x-1)}dx
∫[0→∞] x^3/{(e^x)-1}dx
前者なら
=-e*[(x^3 +3x^2 +6x+6 )exp(-x)][0↑∞] = 6e
(eはネピア数,自然対数の底）

後者なら
∫x^3/((e^x)-1)dx
この積分は解析的には（初等関数の範囲では）解けませんね。
大学レベルでなら特殊関数として定義される多重対数関数（PolyLogarithm function Li_n(x)）というのを使って積分を表すことがが出来ます。
以下の不定積分サイトで不定積分結果を確認下さい。
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=x%5E3%2F%28exp%28x%29-1%29

積分そのものは収束しますので数値計算が出来ます。
数値積分による積分値は約「6.493939」となります。

補足

すいません。以前質問した者なんですが、A#2さんの回答で

∫[0,∞] [x^3/{1-e^(-x)}-x^3]dxの積分が、
[x^3*ln(1-exp(-x))-3*x^2*polylog(2, exp(-x))-6*x*polylog(3, exp(-x))-6*polylog(4, exp(-x))] [0↑∞]　
↑なぜこのようになるのかがわからないのですが教えて頂けないでしょうか？参考URLも見たのですが、わかりません(>_<);;

回答No.1

tono-todo

ｘ－１がどこからどこまでｅに関わるのか分かりませんが、
部分積分で（ｘ＾３の次数を下げていく）解放できるのではありませんか？