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積分について

(1)不定積分∫[(e^6x+2e^4x+e^2x+4)/{e^x(e^x+1)^2}]dx (2)無限積分∫{(∞,0)(e^-x^3)}dx (3)Dを直線y=2-xと曲線y=1+√(1-x^2)で囲まれた領域とする時,   ∫∫[(D){x(x^2+1)}/y^2]dxdy この三つの計算方法を教えてください。

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  • 回答No.2

すみません。 (2)なんですけれど。全然テクニックなんていりませんでした。 お恥ずかしい。 いきなり、x^3=tとおいてください。 1/3*t^(-2/3)*e(-t)dtの積分になりますから、 ガンマ関数の定義より、 1/3*Γ(1/3)が答え。 これで終っていました。m(__)m

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質問者からの補足

ガンマ関数の定義を教えてもらえませんか?

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4

あらら、(3)がほったらかしみたいです。  中心(x,y)=(0,1), 半径1の円(の上半分)を、この円と(x,y)=(0,2)と(x,y)=(1,1)で交差する直線で切り取ったカマボコ形の領域がDですね。"D"って文字の形そのまんまです。(<どうでもいいじゃない) で、 ∫∫x(x^2+1)/y^2dxdy  ((x,y)∈D) の定積分をやれ、つう訳です。  円と直線の交点を見れば分かるとおり、yの変域は 1≦y≦2 であり、xの変域は(yを定数だと思えば) 2-y≦x≦√(2y-y^2) ですね。(えと、2-yと√(2y-y^2)てのはそれぞれ y=2-x をxについて解いたもの、 y=1+√(1-x^2) をxについて解いたもの、です。)  ゆえに、内側の積分は(yを定数だと思ってやればいいので) J(y) = (1/(y^2))∫x(x^2+1)dx (x=2-y~√(2y-y^2)) であり、これは簡単。yの関数として表されます。そして、外側の積分は ∫J(y) dy (y=1~2) ということになります。これも簡単。

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  • 回答No.3

私は(1)に回答します。 分母の式は eのx(e^x+1)^2 乗 ではなく、 eのx乗 に (e^x+1)^2 をかけている、と見て解きました。 I=∫[(e^6x+2e^4x+e^2x+4)/{e^x(e^x+1)^2}]dx と置き、 eのx乗 を t 、被積分関数をf(x)と置くと、 f(x)={t^6+2t^4+t^2+4}/ {t(t+1)^2}     ={t^6+2t^4+t^2+4}/ {t^3+2t^2+t} そこで、実際に t^6+2t^4+t^2+4 を t^3+2t^2+t で割ってみる(筆算する)と、 商は t^3-2t^2+5t-8  、余りは 12t^2+8t+4 であるから、分子={t^3+2t^2+t}*{t^3-2t^2+5t-8} +{12t^2+8t+4} で、 f(x)= t^3-2t^2+5t-8 +{12t^2+8t+4}/{t^3+2t^2+t}     = t^3-2t^2+5t-8 +{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} ここで、{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} を部分分数に展開する。つまり、 {12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = a/t + (bt+c)/(t+1)^2 と置き、この右辺を通分して計算する。 この右辺={a(t+1)^2+(bt+c)t} /{t(t+1)^2}     ={at^2+2at+a +bt^2+ct} /{t(t+1)^2}     ={(a+b)t^2 +(2a+c)t +a} /{t(t+1)^2} これを左辺と比較して、a+b=12 , 2a+c=8 , a=4 連立して解くと、a=4 , b=8 , c=0 したがって、{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = 4/t + 8t/(t+1)^2 以上から、  f(x)= t^3-2t^2+5t-8 +{12t^2+8t+4}/{t^3+2t^2+t}     = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + 8t/(t+1)^2     = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + (8t+8-8)/(t+1)^2     = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + (8t+8)/(t+1)^2 -8/(t+1)^2     = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + 8/(t+1) -8/(t+1)^2     =(e^(3x))-2(e^(2x))+5(e^x)-8 +4e^(-x) +8/(e^x+1) -8/(e^x+1)^2 これを積分する。 I=∫{(e^(3x))-2(e^(2x))+5(e^x)-8 +4e^(-x) +8/(e^x+1) -8/(e^x+1)^2}dx  =(1/3)e^(3x)-2(1/2)(e^(2x))+5(e^x)-8x-4e^(-x)+ 8* ∫{1/(e^x+1) -1/(e^x+1)^2}dx ここで、e^x+1=t と置くと、e^x=t-1  また、 e^x dx=dt ∫{1/(e^x+1) -1/(e^x+1)^2}dx =∫[{(e^x+1)-1}/(e^x+1)^2]dx =∫[(e^x)/(e^x+1)^2]dx =∫[1/(e^x+1)^2]*(e^x)dx =∫[1/t^2] dt =-1/t +K =-e^(-x) +K   (K は積分定数) となるから、 I =(1/3)e^(3x)-2(1/2)(e^(2x))+5(e^x)-8x -4e^(-x) +8*(-e^(-x)) +C  =(1/3)e^(3x)- (e^(2x))+5(e^x)-8x +4e^(-x) +C                       (ただし C は積分定数) 計算違いがあるかもしれませんので、確認してください。  

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質問者からの補足

申し訳ありません。 次の点を教えてもらえますか。 何故、{{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = a/t + (bt+c)/(t+1)^2} となるのでしょうか。

  • 回答No.1

(1)問題の式がよくわかりません。 (2)これは、ちょっとテクニックがいるのでヒント。 e^(-x^3)=1*e^(-x^3)とみて、f=e^(-x^3),g'=1とおいて 部分積分する。[fg]は0になるし、のこりは (3x^3)*e^(-x^3)の積分になるので、変数変換(x^3=tとでも置いて)で t^(1/3)e^(-t)dtの積分になるから、あとは数学の公式集をみるしかなくて っていうか、ガンマ関数の定義の式にぴったりはまるので、 答えは、Γ(4/3)=1/3*Γ(1/3)。Γ(x)は、ガンマ関数。 Γ関数は自分で勉強してね。 (3)この重積分は、教科書をみて地道に解きましょう。 (っていうか、本当は疲れた。) (2)だけ自信あり。

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