２重積分の求め方

質問

直線y=xと放物線y=x^2とで囲まれた領域をＤとするとき
A=∬D 3(x^2)*(y^3) dxdy

を計算するとき、まず、領域を考えて、
0≦x≦1,0≦y≦1
が求まりますよね？

あとはそれをAに入れて
A=∫(x=0～1)∫(y=0～1) 3x^2 y^3 dydx
=∫(x=0～1)[(3x^2y^4)/4](y=0～1)
=∫(x=0～1)(3x^2)/4 dx=3/4[x^3/3]y=0～1)
=1/4

となったのですが・・・・
これで合ってますか？

回答No.2

i536 · ベストアンサー

積分の範囲を(x=0～1)(y=x^2～x)で表現すると、
答えは下記になると思います。

I =∫(x=0～1)dx∫(y=x^2～x)3*x^2*y^3dy

　=∫(x=0～1)3*x^2dx*[y^4/4](y=x^2～x)

　=(3/4)∫(x=0～1)x^2*(x^4 - x^8)dx

　=(3/4)∫(x=0～1)(x^6 - x^10)dx

　=(3/4)[x^7/7 - x^11/11](x=0～1)

　=(3/4)(1/7 - 1/11)

　=3/77

回答No.1

siegmund

それじゃ 0≦x≦1,0≦y≦1 の長方形について積分したことになってしまいますよ．

x を固定したとき，問題の領域は x^2≦y≦x ですね．
したがって，積分を２段階に分けて
I(x) = ∫(y=x^2～x) f(x,y) dy
をまず計算し，そのあとで
∫(x=0～1) I(x) dx
を計算すればＯＫです．

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=336842
も参考になるかと思います．

補足

回答ありがとうございます。

なるほど。確かに長方形でしたね。
では、その計算結果は
A(x) =∫(y=x^2～x) 3x^2y^3 dy
を計算し、
A(x)=3(x^6-x^16)/4となり
これを
I(x)=∫(x=0～1)　Ax dxとし、

=(3/4)∫(x=0～1) (x^6-x^16) dx
=(3/4)*[(x^7)/7-(x^17)/17](x=0～1)
=(3/4)*(9/(7*16)
=27/448

でいいのでしょうか？