材料力学の問題なのですが

質問

重さWで高さHの円錐が直径Dの底面を天井に固定されている時、自重による弾性エネルギを求めよ。[ヒント：下端からxをはかると、微小厚さdxの部分はその下方の部分の重さを加重としてうけそれによって伸びてひずみエネルギを蓄える、これを高さHにわたってたし合わせる]
という問題なのですが、ここで円錐のある点での半径をrとおきr=Dx/2Hとし、A=πr^2=πhd^2/12、弾性エネルギU=Wλ=Hλ^2/2AE=6W^2/πED~2となってしまいます。
答えによると2HW^2/5πED~2なのですがどうしてもこの答えになりません。
どなたかわかる方がおらっしゃいましたらよろしくおねがいします。

回答No.1

hipoo

まずAですがA=πr^2=(π D^2 x^2)/(4 H^2)　ですよね。

また単軸引っ張りの弾性ひずみエネルギーを単位体積あたりに変換すると、
u=U/(Al)=(σ ε）/2=σ^2/(2 E) となり、これを用いて、

∫(u A) dx を0からHの範囲で行うとUを求める事ができます。

ちなみに、
σ=(そこ以下の重さ）/断面積=・・・=(4 W x)/(π H D^2)
です。