縮約記法で表されたディラック方程式

質問

こんにちは、
下記ＨＰの一番最初の式i γ^μ　δ_μの導出が下記で正しいのか否かわからず、困っております。ご教示頂きましたら幸いです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

m＝γ^0 ｐ^0-γ^1 ｐ^1-γ^2 ｐ^2-γ^3 ｐ^3
＝γ^0 ｐ_0+γ^1 ｐ_1+γ^2 ｐ_2+γ^3 ｐ_3
となる。

ｐ_0→iδt
ｐ_1→iδx
p_2→iδy
p_3→iδz

を代入すると、

m＝γ^0 ｐ^0-γ^1 ｐ^1-γ^2 ｐ^2-γ^3 ｐ^3
＝γ^0 ｐ_0+γ^1 ｐ_1+γ^2 ｐ_2+γ^3 ｐ_3
　＝γ^0 iδt +γ^1 iδx +γ^2 iδy +γ^3 iδz
　＝i γ^μ　δ_μ

となる。
pの反変ベクトル、共変ベクトルは下記でよろしいでしょうか？

ｐ^0=ｐ_0→iδt
ｐ^1=ｐ_1→-iδx
p^2=ｐ_2→-iδy,
ｐ^3=ｐ_3→-iδz
本等で調べたのですが、途中が省略されております。
このあたりのことを詳しく書いてある本がありましたら教えて下さい。

回答No.3

connykelly · ベストアンサー

>どんな場合でも、必ず「０」と、「１」「２」「３」は反対符号になるのですね？

その通りです。このあたりの事情は特殊相対論のミンコフスキー空間を調べられるか、件の講義録の式(1.6)、(1.14)や(1.17)の下方を参照ください。

お礼

やはり、下添え字のときは、
p_0＝ih∂^0
p_１＝-ih∂^１
p_２＝-ih∂^２
p_３＝-ih∂^３
となり、
上添え字のときは
p^0＝ih∂^0
p^１＝ih∂^１
p^２＝ih∂^２
p^３＝ih∂^３
となり、同じ符号になることがわかりました。
要するに、上付き、下付きの添え字による符号の違いはメトリック( ｇ_{μν} )の取り方に依存しますが、定義に従うだけです。

ct=x^0=x_0, x=x^1=-x_1, y=x^2=-x_2, z=x^3=-x_3 の微分については
rel_qm.pdf　の(1.18)以下を参照ください。

補足

お返事有難う御座います。

＞その通りです。このあたりの事情は特殊相対論のミンコフスキー空間を調べられるか、件の講義録の式(1.6)、(1.14)や(1.17)の下方を参照ください。

単純に考えれば、その通りなのですが、ひょっとして、
m＝γ^0 ｐ^0-γ^1 ｐ^1-γ^2 ｐ^2-γ^3 ｐ^3

で、γ^0かもしくは、γ^１、γ^2、γ^3の符号がマイナスになれば
（例えば、γ^0の値を、γ^0にするのか、―γ^0にするのか、決めれば問題ないと思いますので、）

＝γ^0 ｐ_0+γ^1 ｐ_1+γ^2 ｐ_2+γ^3 ｐ_3
となり、

ｐ_0→iδt
ｐ_1→iδx
p_2→iδy
p_3→iδz

と、すべて同じ符号になることもあるのでは？

と思ったのです。本当に、p^μ＝ih∂^μのように書くと、μが「０」「１」「２」「３」のときにすべて同じ符号のように見えますが、どんな場合でも、必ず「０」と、「１」「２」「３」は反対符号になるのでしょうか？

回答No.2

connykelly

>藁にもすがる思いで、
大変ご苦労されているようですね。ご質問の式の記法がどうもよく分からなく混乱し、それとm=・・・という式のよく分からなかったのですが、要するにDirac方程式(ihbarγ^μ∂_μ+m)ψ(x)=0の導出を計画されているということですね。
δtという表記は普通∂tという表記で表されると思います。共変形式での記法は∂^μ≡∂/∂_μ=（∂/∂t,-∇）、∂_μ≡∂/∂x^μ=(∂/∂t,-∇^2)でそれらの内積は□≡∂_μ∂^μ=（∂^2/∂t^2,-∇^2)となります。ご質問の件はここ↓の講義録が参考になると思いますので是非一読ください。
http://physics.s.chiba-u.ac.jp/~kurasawa/rel_qm.pdf

補足

お返事有難うございます。

＞ご質問の件はここ↓の講義録が参考になると思いますので是非一読ください。

参考にさせて頂きました。基本的なことを教えて下さい。
P10の式（2.1）ですが、p^μ＝ih∂^μ
とありますが、これを書き出すと

p^0＝-ih∂^0
p^１＝ih∂^１
p^２＝ih∂^２
p^３＝ih∂^３

となり、μが「０」のときはマイナス符号、「１」「２」「３」のときはプラス符号になるのですね。何が言いたいのかは、p^μ＝ih∂^μのように書くと、μが「０」「１」「２」「３」のときにすべて同じ符号のように見えますが、どんな場合でも、必ず「０」と、「１」「２」「３」は反対符号になるのですね？

追伸
＞δtという表記は普通∂tという表記で表されると思います。
そうですね。この∂の変換が分かりませんでした。素直に「デル」で変換できるのですね。∂を「ラウンド」と読み人もいますが、これでは変換しませんでした。

回答No.1

gyrocompas

あたしには
ブルーバックスですが
「量子力学のからくり」山田克哉著（講談社）
の第六賞が、わかりやすかったですが。

ちなみに、この本で、
シューレーディンガーの方程式も
ディラックの方程式も
緻密な理論展開ではなく
試行錯誤で「エイヤ」と作られたことを
はじめて知りました。
（情けね～、今ごろ知った）

補足

藁にもすがる思いで、「量子力学のからくり」山田克哉著（講談社）を図書館で借りてきました。しかし、基本的なことばかり書かれていて何の参考にもなりません。
第六章の何ページを見れば、上記の質問の回答が得られるのでしょうか？

第六章には、ディラック方程式は載っていました。ただそれだけが、質問と関連しているだけです。訳がわからない回答です。