問題集の問題なんですが・・・

質問

数学の問題集を解いていたのですが、答えの導出過程が分からないので、もしお解かりの方はどうか教えてください。

２直線　
　m : {x-1} = {(y-3)/a} = {(z+4)/(-3)}
　l : {x+2} = {(y+7)/2} = {(z+b)/3}　
が直交するようにa,bの値を定めよ。

って問題なんですが、aは単純に方向ベクトルの内積が０という関係を用いて、４が出たのですが、ｂの解答の導出過程がわかりません。
答えでは、b=1　となっているのですが、どうすれば出るのでしょうか？
どうか教えてください。

回答No.3

inara

訂正です。

a の値が分かったのでa = 4 を代入してしまいますが、2直線の方程式
　　m：　x - 1 = ( y - 3 )/4 = -( z + 4 )/3 --- (1)
　　l：　x + 2 = ( y + 7 )/2 = ( z + b )/3 --- (2)
が交点を持つということは、ある特定の( x, y, z ) で 式(1)と(2) の両方が成り立つということです。この特定の( x, y, z ) が交点の座標なのですが、それを( x0, y0, z0 ) としたとき、交点では
　　x0 - 1 = ( y0 - 3 )/4 = -( z0 + 4 )/3 --- (1')
　　x0 + 2 = ( y0 + 7 )/2 = ( z0 + b )/3 --- (2')
を満足します。そこで式(1')を
　　x0 - 1 = ( y0 - 3 )/4 = -( z0 + 4 )/3 = s --- (3)
とおけば
　　x0 = s + 1、y0 = 4*s + 3、z0 = -3*s - 4
ですから、これを式(2')に代入すれば
　　s + 3 = ( 4*s + 10 )/2 = ( -3*s - 4 + b )/3
となります。この式は２つの式をあわせたものなので、分解すれば
　　s + 3 = ( 4*s + 10 )/2 --- (4)
　　( 4*s + 10 )/2 = ( -3*s - 4 + b )/3 --- (5)
となります。式(4), (5) から s と b が求められるはずです。
ちなみに、この s を式(3)に入れると、交点 x0, y0, z0 が出ます。

回答No.2

inara

a の値が分かったのでa = 4 を代入してしまいますが、2直線の方程式
　　m：　x - 1 = ( y - 3 )/4 = -( z + 4 )/3 --- (1)
　　l：　x + 2 = ( y + 7 )/2 = -( z + b )/3 --- (2)
が交点を持つということは、ある特定の( x, y, z ) で 式(1)と(2) の両方が成り立つということです。この特定の( x, y, z ) が交点の座標なのですが、それを( x0, y0, z0 ) としたとき、交点では
　　x0 - 1 = ( y0 - 3 )/4 = -( z0 + 4 )/3 --- (1')
　　x0 + 2 = ( y0 + 7 )/2 = -( z0 + b )/3 --- (2')
を満足します。そこで式(1')を
　　x0 - 1 = ( y0 - 3 )/4 = -( z0 + 4 )/3 = s --- (3)
とおけば
　　x0 = s + 1、y0 = 4*s + 3、z0 = -3*s - 4
ですから、これを式(2')に代入すれば
　　s + 3 = ( 4*s + 10 )/2 = -( -3*s - 4 + b )/3
となります。この式は２つの式をあわせたものなので、分解すれば
　　s + 3 = ( 4*s + 10 )/2 --- (4)
　　( 4*s + 10 )/2 = -( -3*s - 4 + b )/3 --- (5)
となります。式(4), (5) から s と b が求められるはずです。
ちなみに、この s を式(3)に入れると、交点 x0, y0, z0 が出ます。

回答No.1

velvet-rope

「直交する」とあるので、とりあえず2直線の交点を求めてみてはいかがでしょう。