数Bベクトル、問題の答えがないorz

質問

今、試験前で授業中に配布されたプリントで
時間的に授業で省かれた問題を解いているんですが、
答えがなく困っています。

問題と自分の解き方・解答を書くので解説をお願いします。
数式の表記の仕方がわからないのですが、
他の質問者の方を見ると、Aの上に→があるものをベクトルAと書いているようで、
しかし数式が長くなるとゴチャゴチャしてしまうので
V(A)と書くことにします、よろしくお願いします。

問１．
平行四辺形ABCDで
BP/AB=S、BQ/BD=t
とするとき、sとtとの関係式を求めよ。

まず、これですが、
ベクトルを用いなければ簡単に解けるのですが(相似とか使って)
ベクトルを使うとどんな感じに解いていくものなのでしょうか。

座標系{B;V(BA),V(BC)}を設定し、
B(0,0),A(1,0),C(0,1),D(1,1),P(s,0)としてみたのですが
下、明らかにベクトルを用いてない解答orz
BA//CDなのでBP:CD=BQ:QD=s:1
またBD:BQ=(BQ+QD):BD=(s+1):s=1:t
∴s=t(s+1)

答えはあっているのでしょうか、
またベクトルを用いるとどんな式になりますか？

問２．
A(-3,2,5)とB(1,0,2)を通る直線Lと
直線(x-3)/(-2)=(y-p)/3=(z+5)/2が交わるように
定数pを定めよ

Lについて
(x+3)/(1+3)=(y-2)/(0-2)=(z-5)/(2-5)
⇔(x+3)/4=(y-2)/(-2)=(z-5)/(-3) … (1)

(1)=tとしてx,y,zについて解くと
x=4t-3
y=-2t+2
x=-3t+5
となる。 … (2)
これらを
(x-3)/(-2)=(y-p)/3=(z+5)/2
に代入して等式が成り立ったときのtをとるx,y,zが交点である。

(x-3)/(-2)=(z+5)/2
⇔x-3=-z-5
⇔4t-6=3t-10
⇔t=-4

これを(2)に代入すると
x=-19,y=10

(x-3)/(-2)=(y-p)/3
⇔-3x-9=2y-2p
⇔57+9=20-2p
⇔p=-23

どうでしょうか、かなり不安です。
よろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

問１）
　答えは合っていますよ！
　質問者さんの方法では、次のようにすると、より早くとけると思います。

＞BA//CDなのでBP:CD=BQ:QD=s:1
　　BP:CD=BQ:QD=s:1=t:(1-t)　（∵QD=(1-t)BD )
　∴s(1-t)=t

　ベクトルで解く場合は、次のようになります。（コツは関係するベクトルをV(BA)とV(BC)だけで表すようにすることです。）
　　V(BP)=sV(BA)
　　V(BQ)=tV(BD)=t{V(BA)+V(BC)}=tV(BA)+tV(BC)

　　V(PQ)=V(BQ)-V(BP)={tV(BA)+tV(BC)}-sV(BA)=(t-s)V(BA)+tV(BC)　　・・・(A)
　　V(PC)=V(BC)-V(BP)=V(BC)-sV(BA)　　・・・・（B)

　点P,Q,Cは一直線上にならんでいなければならないので、
　　V(PQ)=kV(PC)　（ｋ：定数）　　・・・・（C)
が成り立たなければならない。
　したがって、この式（C)に式（A)と（B)を代入すると、
　　(t-s)V(BA)+tV(BC)=k{V(BC)-sV(BA)}
　　(t-s+ks)V(BA)+(t-k)tV(BC)=V(0)
となるので、次の式が成り立たなければならない。
　　t-s+ks=0 かつ t=k
　この２式からｋを消去して、
　　ts+t-s=0
を得る。これが求めるｔとｓの条件になる。

問２）
　考え方はいいですが、途中で計算を間違えているようです。

＞x=4t-3
＞y=-2t+2
＞x=-3t+5
＞となる。 … (2)

　ここで、３番目の式は、ｚ＝－３ｔ－５　となります。（ｘとｚの誤記は承知して。）
　あとは、質問者さんの考えどおり計算すればよく、p=17という答えを得ると思います。（間違っていたらすみません。）

お礼

(1)
なるほど、理解できました
どうもです。

(2)
プリントからノートに写している間に書き写し間違えていましたorz
どうもです