非ホロノームな拘束

質問

4輪車などにおいて以下の非ホロノームな拘束があります。

x'sinθ=y'cosθ

この方程式が非可積分微分方程式らしいのですが、なぜ非可積分なのかを教えてください。ちなみにx',y'はそれぞれx,yの時間による一回微分で、θも時間の関数です。

回答No.3

grothendieck

拘束条件が可積分かどうかの判定はFrobeniusの定理によって行われます。変数を
x1 = x
x2 = y
x3 = θ
とすると拘束条件は
　ω = sin(x3)dx1 - cos(x3)dx2 = 0
と書けます。拘束条件が可積分になる条件は
　dω = θ∧ω
となるような微分形式θが存在することです。
　θ = a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3
とすると
　a1 = a2 =0
a3 sin(x3) = cos(x3)
a3 cos(x3) = - sin(x3)
が成立していなければなりません。これを満たすような a3 は存在しないのでこの拘束条件は可積分ではありません。

参考書）
　木村利栄、菅野礼司「微分形式による解析力学」（マグロウヒル）

お礼

可積分かどうかの判定法があったんですね。これは役に立ちそうです。

ありがとうございました。

回答No.2

noname#221368

たぶん何かの本からだと思いますが、この場合の「非可積分」は、積分値が存在しないとか、そういう意味ではないと思います。また非ホロノーム拘束条件を、微分方程式と言う事も余り無い気がします。

　この場合の「積分できない」の意味は、

　　・ホロノーム拘束条件の微分からは導けない（だから積分できない）．

くらいのはずです。
　実際、与式を移項すると、

　　dy/dx＝tanθ(t)

になるので、形式的には積分できます。

　　y－x・tanθ(t)－Ｃ(t)＝0　　　(1)

　ここでＣ(t)は、xに関する積分定数で、運動の初期条件から決定できます。さらに上式は、ホロノーム拘束条件、

　　f(x，y，t)＝0

の形をしています。しかし、

　　θ(t)の具体的形がわかりません．

　結局θ(t)は、「問題を解いた後」でないとわからないので、「問題を解く前」に、対応するホロノーム条件を、積分により見つける事は不可能です。これが「非可積分」の意味だと思います。で、「問題を解いた後」の式(1)とは、運動の軌道ですよね。

お礼

ありがとうございます。

つまり、ホロノームの拘束条件の微分から求められないものを非可積分微分方程式というのですね。

回答No.1

7624802

非線形だと非可積分でなかったでしたっけ？tanをシータで展開するといくらでも高次の項が出てきますし。。。。
　積分できるのは単純な一部のものぐらいと認識しています。

お礼

ありがとうございます。

そうなんですか。けれど、僕が調べたところによると非線形だと非可積分とは限らないようです。