包絡線について

質問

包絡線の問題を考えているのですが、どうにも進まないので教えていただけると幸いです。
（１）x*cos t+y*sin t=a (a>0)
（２）(x-b*cos t)^2+(y-b*sin t)^2 =a^2(b>a>0)
という問題です。

（１）に対しては、tで微分した式と、もとの（１）の式で連立方程式のようにして
x,yをそれぞれ出していきました。（答え　x^2+y^2=a^2）
（２）に対しても同様に進めていこうと思いtで微分した式から、x*sin t=y*cos t
が得られたのですが、連立方程式を立ててもそれをうまく解くことができませんでした。
（どうしても、sinとcosが残ってしまいます。）

ここで質問なのですが、
○どのようにすれば（２）の包絡線を求めることができるか
○（１）に関してももっと別の方法（三角関数の公式を駆使して等）で解くことができないか
の2点について教えてください。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(1)
>○（１）に関してももっと別の方法（三角関数の公式を駆使して等）で解くことができないか
質問者さんの解法が基本的かつ簡単なポピュラーな解法でしょう。別の解法はないか、または
あっても難解な解法しか存在しないでしょう。まあ、考えない方が無難と思う。

以下の解答で　cos(t)sin(t)=0の場合が欠落すると、包絡線の円からx軸およぶy軸との交点が抜けてしまい、減点対象になるので注意したいですね。

x*cos(t)+y*sin(t)=a (a>0) …(A)
ｔで微分
-x*sin(t)+y*cos(t)=0 …(B)

sin(t)cos(t)≠0のとき
(A)*cos(t)-(B)*sin(t) より
x=a*cos(t) …(C)

(B)に代入
(-a*sin(t)+y)*cos(t)=0
cos(t)≠0より
y=a*sin(t) …(D)

（C),(D)より
x^2+y^2=a^2 (xy≠0)

sin(t)=0のとき cos(t)=±1
(B)より y=0
(A)より　x=±a

cos(t)=0のとき　sin(t)=±1
(B)より　x=0
(A)より y=±a

以上まとめると包絡線の方程式は
x^2+y^2=a^2　…（答）
(原点中心、半径aの円の全円周)

(2)
>○どのようにすれば（2）の包絡線を求めることができるか

(x-b*cos(t))^2+(y-b*sin(t))^2 =a^2 (b>a>0) …(A)
tで微分
2b(x-b*cos(t))sin(t)-2b(y-b*sin(t))cos(t)=0
2b(>0)で割って
x*sin(t)-y*cos(t)=0 …(B)

sin(t)cos(t)≠0のとき
(B) より y=x*tan(t)
(A)に代入
(x-b*cos(t))^2+(x*tan(t)-b*sin(t))^2=a^2
x^2*(1+(tan(t))^2)-2b*x*(cos(t)+tan(t)sin(t))+b^2=a^2
x^2/(cos(t))^2 -2b*x*((cos(t))^2+(sin(t))^2)/cos(t)+b^2=a^2
(cos(t))^2を掛けて
x^2-2b*x*cos(t)+b^2*(cos(t))^2=a^2*(cos(t))^2
(x-b*cos(t))^2=a^2*(cos(t))^2
x=(b±a)*cos(t) …(C)

(B)に代入
y=(b±a)z*sin(t) …(D)

(C)^2+(D)^2より
x^2+y^2=(b±a)^2 (xy≠0)…(E)

sin(t)=0のとき cos(t)=±1
(B)より y=0
(A)より　x=±(b+a), ±(b-a)

cos(t)=0のとき　sin(t)=±1
(B)より　x=0
(A)より y=±(b+a), ±(b-a)

以上まとめると包絡線の方程式は
x^2+y^2=(b±a)^2　…（答）
(原点中心、半径(b+a)の円と半径(b-a)の２つの円の全円周)

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。

大変詳しく書いてくださってありがとうございます。
おかげさまで解決することができました。

また、機会があればよろしくお願いします。