中学 確率 問題の式を教えてください。

質問

こんにちは。春休みの宿題をやっている中学２年生です。今、数学のドリルをやっているのですが、
　A～Ｇのバスケットボールチームがある。どのチームも他のすべてのチームと1回ずつ対戦するとき、試合数は全部で何試合になるか。
という問題の式が分かりません。仕方なく樹形図で21という答えが出たのですが、式と問題の考え方も分からないので、どなたか教えてください。

回答No.5

kumipapa · ベストアンサー

７チームによるリーグ戦ですね。いくつか考え方を紹介します。
【　樹形図を書く　】
樹形図を洩れなく、また、重複無くきちんと書くのは、それはそれで最初のうちは大切なことだと思います。樹形図を書くという過程を数式にすることによって、組み合わせの数を求める計算方法が見つかることも多々ありますので、よく考えながら樹形図は書きましょう。最初は丁寧に、そのうち、何か計算方法や法則はないものかと考えながら樹形図を書くのです。取り合えず、樹形図で２１と出たのなら正解ですよね。
【　対戦表で考える　】
対戦表を書いて見ると（重複を許さないように書いた樹形図を変形しただけなんですが）、
－　Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　Ｅ　Ｆ　Ｇ
Ａ　＼　○　○　○　○　○　○
Ｂ　×　＼　○　○　○　○　○
Ｃ　×　×　＼　○　○　○　○
Ｄ　×　×　×　＼　○　○　○
Ｅ　×　×　×　×　＼　○　○
Ｆ　×　×　×　×　×　＼　○
Ｇ　×　×　×　×　×　×　＼
となりますね。全ての試合数を求めるのは、この対戦表の○の数（または×の数）を計算することになります。この計算方法は分かりますか。
上の対戦表の○の数（または×の数）は１から６までの数を全て足した数ですから、
１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１
なので２１試合です。リーグ表の○（または×）が並んでいる部分を台形（底辺が６で上辺が１、高さ６）と見なして、その面積を求めるのと同じ考え方をして計算することができて、
１＋２＋３＋４＋５＋６＝（１＋６）×６／２ ＝ ２１
と計算することもできます。
こう考えると、もっと一般的に、「ｎチームがリーグ戦を行うときの試合数」は、１から（ｎ－１）までの和で、
1 + 2 + 3 + ・・・ + (n-1) = {1 + (n-1)} (n-1) / 2 = n (n - 1) / 2
で求められることが分かるでしょう。

【　重複を許した樹形図から試合数を計算する　】
単純に重複を許して樹形図を書いて、そこから試合数を計算します。
Ａ－Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ　⇒　６通り
Ｂ－Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ　⇒　６通り
・・・
Ｇ－Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ　⇒　６通り
なので、全数は７×６＝４２です。しかし、Ａ－ＢはＢ－Ａと重複、Ａ－ＣはＣ－Ａと重複、というようにここで数えられた４２個の組み合わせは必ず２回づつ重複していますから、４２÷２＝２１が試合数となります。同じように、ｎチームで考えると、各チーム（n個のチーム）から出る枝の数は (n - 1) 本で、全てが２回づつ重複しているので、試合数は、
n (n - 1) / 2 試合と計算されます。

お礼

こんばんは！お礼をするのがものすごく遅れてしまい、本当にすいません！とても細かく教えていただけてうれしいです！ありがとうございました！

回答No.4

srafp

総当り戦の試合数の公式
　参加者数×（参加者数―１）÷２
ご質問のケースだと
　７チーム×６回÷２＝４２÷２＝２１試合

何故そうなるのかは、既に多くの方が答えられておりますが、３チームを例に対戦図を描いてみると、こんな感じになります。
　　Ａ　Ｂ　Ｃ　
Ａ　＼　○　×
Ｂ　○　＼　○
Ｃ　×　○　＼
この図を見ると、常に参加者の対戦数は「参加者数―１」です。
一方、「Ａ対Ｂ」と「Ｂ対Ａ」は同じことだから、「参加者数×（参加者数―１）」で計算してしまうと、実際の対戦を倍にカウントしてしまうので、２で割る必要が有るのです。

お礼

お礼をつけるのがものすごく遅れてしまい、本当にごめんなさい！
そうですよね、７チームなら、１チーム自分をぬいて６かいずつで、ダブルので÷２！
教えていただき、有り難う御座いました

回答No.3

koko_u_

>仕方なく樹形図で21という答えが出たのですが、式と問題の考え方も分からないので
樹形図も「考え方」の一つです。

いっぱい樹形図を書くと、「同じパターンの繰り返し」や「樹形図の表われる法則性」などに気が付くでしょう。
そういったバックグラウンドがあって初めて「計算式」のようなモノが理解できるようになります。

お礼

分かりました。これからも分からない問題があったら樹形図を書いて見ます。回答、ありがとうございました。

回答No.2

noname#66332

中学生レベルなら

A-B
A-C
A-D
A-E
A-F
A-G　6通り

B-A　重複のため×
B-C
B-D
・
・　5通り

C-　‥‥
D-　‥‥
F-G　1通り

で、1+2+3+4+5+6＝21　で構わないと思いますよ。
なお小ネタですが、同種の計算で仮に150まであるとすれば
（（1+2+3+4+‥‥+148+149+150）＋（150+149+148+‥‥+4+3+2+1））÷2
と考えると計算が速いです。

＝ （151+151+151+151+‥‥151+151）÷2 ＝　151 × 150 ÷2
＝ 11325
＝ （最後の数 × 最後の数＋1）÷ 2

お礼

お礼が遅れて、本当にすいません！補足も、いま改めて考えたら分かりました！回答ありがとうございました！

補足

すいません。1+2+3+4+5+6=21　は樹形図みたいに場合で考えていったんですよね。その後の150まであるというのは、なにがですか・・？こんなことを聞いてすいません。そして、なぜ（(1+2+3+4・・・・+148+149+150)+(1+2+3+4・・・・+148+149+150)）÷2とかんがえるのですか。その後のもわかりません。理解力が無くてすいません。
　1+2+3+4+5+6=21に戻りますが、Cとかで計算すると７Ｃ２っってなったりしますかね・・？テキトーに逆算すると式がこうなるのかなって結末にたどり着いたんですが・・・

回答No.1

noname#55170

A～Ｇで７チーム
１チーム選ぶと残りは６チーム
Ａ＊Ｂ戦とＢ＊Ａ戦は同じもの

∴２１

お礼

分かりました。樹形図みたいな考え方ですね。
早急な回答、ありがとうございました。