確率の問題について

質問

オレンジキャンディー4個、レモンキャンディー6個の合計10個のキャンディーが入っている袋の中から、
同時に3個のキャンディーを取り出したとき、そのうち少なくとも1個がオレンジキャンディーである確率はどれか。

という5択問題です。

答えは5/6なのですが
自分で解いてみたところ5択のどれにも当てはまらず、あてずっぽうで選んで正解という結果でした。

解説を見たところ
見た事無い記号（Cの両端に小さい数字）が出てきて
自分が習ってない範囲だなと思いました。

正直確率問題は中学レベルも分かりません。
初歩的なのでよくある、サイコロ2つを同時に投げたとき、投げた数の和が…とかぐらいしか解けません。
その問題でも未だに6×6の表を書いて解いている感じです。
よく見る問題なので、表を書かなくても全体が36通りだというのも分かっているのですが
分子の部分の抽出を間違えるないように、検算？のような形で書いています。

その他も樹形図を書いてでしか解けず、数式での確率の計算ができません。

今からでも確率の計算の仕方を覚えたほうがいいのは分かるのですが
この問題を樹形図で解く事はできませんか？

結果的には間違っていましたが、私は樹形図で解こうと思い書いていったところ
分母が34になりました（約分せず）。
これは間違いでしょうか？

結果24/34になってしまい、約分しても、12/17で、そんな選択肢は無く
当てずっぽうになってしまったわけですが

一応、ノートに34通り
オ1、オ2…、レ1、レ2…という形で

オ1で始まるのをずっと書いて、
次からは1個ずつ減らすという形で書きました。

計算式での解き方ではなく、
樹形図の場合の解き方というか、

まず樹形図を書くことで（間違える可能性が高いとしても）解ける問題なのか。

解けるのであれば
私がどこで間違えたのか知りたいので
そもそも分母が34という事自体が間違っているのか教えて頂きたいです。

（一応樹形図の法則は知っています）

回答No.3

noname#227653 · ベストアンサー

確かにこの問題を樹形図で解くのは大変そうですね。
もしもどうしても樹形図を書きたいなら以下のようになります。

オレンジキャンディー4個をA,、B、C、Dとします。レモンキャンディー6個をE、F、G、H、I、Jとします。
まず、縦に間隔をあけてAからJまでの10個を書き並べます。
多分この先はおわかりになっていると思いますが、Aから右に9本の線を引き、BからJまでの9個を書き並べます。
次にA－Bの右に8本の線を引き、CからJまでの8個を書き並べます。
次にA－Cの右に線を引きますが、ここは7本になります。A－C－Bを書いてしまうと、先に書いた中にあるA－B－Cとダブってしまうので書いてはいけません。だからA－Cの次はDからJまでの7個になるのです。
つまり、このタイプの問題で樹形図を書くときは、A→B→C→…の方向で書いていかなければならず、その逆の方向に書いてはいけないのです。例えばDを書いたらその右にはA、B、Cは書けません。書くと必ずダブりが出ますから（これもおわかりかもしれませんが）。
こうやって全部書けば120通りになるはずです。そしてその中には、レモンキャンディーだけのもの（E、F、G、H、I、Jだけでできているもの）が20通りあり、オレンジキャンディーが含まれているもの（A、B、C、Dが含まれているもの）が100個あるはずです。

ただ、これはかなり大変ですよね。
少しでも楽をしたいなら、樹形図をすべてはかかず、数字を書いていく、という手があります。
上のやり方では、A－Bの右にはCからIまでの8個を書き並べましたが、そのかわりに８という数字を書きます。いちいち8個の記号を書き並べなくても、8個あるんだから「８」と書いておけばそれでいいのです。
同様にA－Cの右には７、A－Dの右には６、と書いていきます。そしてこのようにして最後まで書き終えたら（最後はH－I－１となります）、書いた数字を足しあわせれば120通りになるはずです。

しかし、これにしても相当大変ですね。
よかったら計算で出せる方法をがんばってマスターしてみたらどうですか。
そうすれば、10×９×８÷（３×２×１）で120通り、６×５×４÷（３×２×１）で20通り、120－20で100通り、100÷120で5/6、と簡単に出せますよ。

お礼

回答ありがとうございます。

ようやく自分の樹形図の間違いが分かりました。

ずっと隣り合わせの2個をつなげる形でやっていたので
数が飛んでいるものの組み合わせが全くありませんでした。

やはり樹形図は同時に2個が限界ですね…
確率の計算方法はそれ以前に学ばなければいけないところが残っているので
もう少しかかりそうです。

回答No.4

KEIS050162

樹形図で解いても良いですが、数が多くなると手間がかかる上に、間違いも起こしやすいので、先の回答者の方のお勧めの通り、なんらかの法則を見つけて計算する、というのが良いと思います。
ただし、既にこれは法則が確立しており、n!　とか　nPk　とか　nCkなどの演算子が編み出されているので、ご自身で法則を見つける苦労より、先人達が見出したこれらの法則（演算子）を理解する方が早いと思いますよ。

例えば、　n!　(n>0) は、ｎの階乗で、nx(n-1)x(n-2)x … x2x1　のことで、ｎ個のものを順番に並べた時の組合せです。
オレンジ３個で言えば、オ１、オ２、オ３の樹形図を描いてみれば、3! = 3x2x1 =6通りであることが分かります。数が増えても同じです。

nPk　(n>k>0)は、ｎ個からｋ個を取り出して並べる順列で、n!/(n-k)! = nx(n-1)x…(n-k+1)となります。
レモン６個から３個の例で樹形図を描いてみると、6x5x4=120通りであることが分かります。

少し難しいのが、nCkで、これはｎ個からｋ個取り出した組合せになります。順番は不問なので、上記のnPkでダブった分を割らなければなりません。

nPk　で　k個のものが並ぶ順列が出来るわけですが、
k1-k2-k3, k1-k3-k2, k2-k1-k3 …　などは同じものとして扱わなければならないので、この順列は、k!通りで割らなければなりません。

なので、nCk = (nPk) / k!　となります。
レモン６個から３個取り出す組合せの樹形図を描いて、並びを無視して同じものを消去すると、(6x5x4) / (3x2x1) =20通り となるはずです。

上記はかなり説明を端折っているので、詳しくは、数IAの順列・組合せの単元を復習してください。

改めて問題を見ると、全部の組合せは１０個（オレンジ４個＋レモン６個）から３個取り出す組合せは、10C3　= 120　通り

少なくともオレンジが1個ある、というのは、全体の組合せからオレンジが一つもない（即ち全部がレモンである）組合せを引けばよいので、

全部レモンの場合の組合せ　6C3 = 20通り　を全体から引いて、120-20=100通り
となります。

確立を求められているので、全部の組合せ120通りで、この100通りを割れば良いことになります。

これを一気に式で表すと、(10C3-6C3)/10C3　（もしくは、1-6C3/10C3 )　となります。
（恐らく、解説にあったのはこんな式では？）

ご参考に。

回答No.2

ask-it-aurora

<No.1お礼

画面越しにあなたがどう間違えたのかを当てるのはかなり難しいので，もし僕が手ですべての場合を数え上げるならどうするかを説明してみます．が，説明のために120も並べるのもバカバカしいので小さな問題―オレンジ2個，レモン3個の中から2個同時に取り出す場合―でやってみます．方針としてはオレンジの数で場合分けして，その下にオ1を含むもの，オ1を含まずオ2を含むもの…と並べます．

+- オレンジ2個
+-- オ1オ2
+
+-- オレンジ1個
+-- オ1レ1
+-- オ1レ2
+-- オ1レ3
+-- オ2レ1
+-- オ2レ2
+-- オ2レ3
+
+- オレンジ0個
+-- レ1レ2
+-- レ1レ3
+-- レ2レ3

すると上のようになりオレンジを含む確率は7/10です．こんな風にすれば漏れなく手際よくすべての場合を数え上げられるのではないでしょうか．(それでもやっぱりすべてを数える上げるなんてことは最終手段です．「そんなこと意地でもやるものか！」と，なんとかして法則性を見つけ出し〈さらっと〉済ませようとするのが数学をやる上で健全な姿勢だと思います．その法則性を見つけ出すために先の回答に書いたように小さい問題について数え上げてみて様子を見るのは定石としてアリだと思いますが．)

ちなみに検算として先に示した方法で計算すれば
1 - (3/5)*(2/4) = 7/10
となり確かに一致します．

回答No.1

ask-it-aurora

もしあなたのやったように「オ1、オ2…、レ1、レ2…」とするならすべての場合は120通りです．そのうちオレンジを含んでいるものは100通りあるので確率pが
p = 100/120 = 5/6
となります．実際手で数え上げる気はしませんが一応数え上げてはみたので(参考URL)ご自分のと比べてみてください．

どんな問題にせよ有限個しか選択肢がないのであれば数え上げれば解けますが，大抵得策ではありません．もしやるにしても小さな問題(オレンジ1個，レモン2個の場合とか)でやってみて，どう解けばよさそうか見当をつけてから一気にCなりを使って済ますくらいでしょう．

この問題の答えが知りたいだけならばCとか使わなくてもできます．要は全部レモンを引くということがなければいいわけです．全部レモンを引く確率は(6/10)*(5/9)*(4/8) = 1/6なので
p = 1 - 1/6 = 5/6
で終わりです．

参考URL：

http://aleph.sagemath.org/?q=bglait

お礼

回答ありがとうございます。
URL先見させて頂きました。

120と聞いて私が算出した数とあまりにも違い
順番が違うのも含んで？とか思ってしまいましたが、違いましたね。

私は最初、同時に3つなので、樹形図ではダメだと思いました。
2つまでならいいのですが3つとなると自分の中でかなりレベルが上がってしまいます。

樹形図は普通一つずつ減っていきますが（うまく説明できませんが）
3つだとそうもいかなくなるという考えがあったのですが
樹形図を書いていくなかで、「あっこれは1個ずつ減らしていってもできる」と思い
結果分母が34になりました。

URL先を見て一つもかぶりはもちろん無かったので
私がおかしいのは明白なのですが
自分で自分の間違いを見つけられません。

私の方法としては
オ１オ２オ３、オ１オ３オ４、オ１オ４レ１…
オ２オ３オ４…
オ３オ４レ１…
という感じで結果34だったのですが
何が間違っているのでしょうか？

正しい分母と86もの差がついてしまった間違いを知りたいです。