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漸化式
ryumuの回答
- ryumu
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おそらく、解き方は書いてあるのでしょうから、考え方だけを。 一般に三項間漸化式は、 An+2 + aAn+1 + bAn = 0 ・・・(*) => An+2 - αAn+1 = β(An+1 - αAn) ・・・(**) という形式にしたいのです。こうすると、 An+1 - αAn = Bn (B1 = A2 - αA1 ) と置くことにより、 (**) => Bn+1 =βBn ・・・(***) という、単なる等比数列の問題になります。 従って、これを満たすαとβを求めればよいことになります。 ここで、(*)と(**)を比較すると、 a= -(α+β)、b=αβ となります。 さて、ここでαとβを求めるには・・・・ (t-α)(t-β)=0 => t^2 + at + b = 0 を説けばいいということになります。 ・・・もしかして、ここから先が問題だったりして? (***)から、 Bn = β^(n-1)B1 となります(ちなみに、「X^a」は、Xのa乗を示す)。 これより、 An+1 - αAn = β^(n-1)B1 ・・・(#) となります。 ここで、= β^(n-1)が邪魔ですが、 両辺を、β^(n+1)で割り(別に、β^nでも、β^(n-1)でもよいのですが、面倒なのでβ^(n+1)にしました)、 An/(β^n)=Cn と置くことにより、 (#)=> Cn+1 - (α/β)Cn = B1/β^2 =定数 となり、通常の二項間漸化式になります。 ・・・細かい計算が間違ってるかも知れませんが、考え方を参考までに。
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