確率

質問

１．１個のさいころを３回投げて出た目の数を順にX,Y,Zとする。このとき、
　X＋Y＋Z　が６以下になる確率を求めよ。

２．１個のさいころを２回投げて、１回目に出た目をａ、２回目に出た目をｂとする。放物線　ｙ＝Ｘ＾2－２ａＸ＋ｂ＋１　が次の条件を満たす確率を求めよ。
　（1）この放物線が、点（1，2）を通る。
　（2）この放物線が、Ｘ軸と共有点を持たない。

問題数が多くてすみません。回答よろしくお願いします。

回答No.5

Ameringo

２．（1）だけですが、
まず、方程式だけ解いていくと、
ｙ=2,x=1を代入する
　2=1-2a+b+1
　０=2a+b、2a=b
このことから、
2aは偶数でなければならない（当り前ですが．．．）ということがわかり、さいころの目は１～６までしかないため、2aは２，4，6のどれかだということがわかります。
　また、2a=bより、bも２，４，６のどれか、そのときのaはそれぞれ１，２，３
よって、組み合わせ方は（１，２）,（２，４）,（３，６）の3通りなので、
３／３６＝１／１２　となります。

参考になったら幸いです。

回答No.4

fushigichan

こんにちは。
１番ですが、足して６以下になる組み合わせは
（１，１，１）この目の出方は１とおり。
（１，１，２）この出方は3C1=3とおり。
（１，１，３）も同様に３とおり。
（１，１，４）も同様に３とおりです。
（１，２，２）は3C1=3とおり。
（１，２，３）は３！＝６とおり。
（２，２，２）は１とおりですから、全部足して２０とおり。
さいころの目の出方は、６×６×６＝２１６とおりですから、
求める確率は、20/216=5/54　となります。

２番は
（１）まず、y=f(x)=x^2-2ax+b+1
とおいて、y=f(x)が点（１，２）を通るのですから、
　　　y=2,x=1を代入してみましょう。
　　　2=1-2a+b+1
b=2a　となりますから、適する(a,b)の組み合わせは
　　　(1,2)(2,4)(3,6)の３とおりです。
　　　全部で６×６の３６とおりありますから、3/36=1/12 となります。
（２）y=f(x)を変形して、頂点を求めてみましょう。
　　　y=(x-a)^2-a^2+b+1
これは、y=f(x)が頂点（a,-a^2+b+1)の、上に凸の放物線
　　　であることを示している。
　　　これがX軸と共有点を持たないためには、すべてのXに対して
　　　ｆ（ｘ）＞０であることが成り立てばよい。
　　　よって、頂点で最小ですから、-a^2+b+1＞０
　　　したがってb+1＞a^2が成り立つ（a,b)を求めてみましょう。
　　　a=1のとき、b=1,2,3,4,5,6の６とおり。
　　　a=2のとき、b=4,5,6の３とおり。
　　　a≧3のときはbは求められないので、不適。
　　　したがって、うえの６＋３＝９とおりである。
　　　よってその確率は9/36=1/4ということになります。

ちょっとしんどいですが、根気よくやってみてくださいね。

回答No.3

ti-zu

2番の問題ですが、これは関係式を解き、地道に数字を当てはめてはどうでしょうか？少し面倒くさい作業になりますが、確実に答えが得られると思います。（１）は２ａ－b＝０を解けばいいですよね？つまり（１，２）（２，４）（３，６）のみです。よって、３／３６となり答えは１／１２です。他にもっと簡単なやり方があるのかもしれませんね・・。ま、参考にしてください・・。

回答No.2

zabuzaburo

2は確率の問題と放物線の問題を
(やや強引に)融合したものですから、
分割して考えれば頭がすっきりします。

まずはさいころのことを忘れて、
単独に放物線の問題として捉えてみましょう。

■放物線「y = x^2 - 2ax + b + 1」が
(1)点(1, 2)を通る
(2)x軸と共有点を持たない
ようにするために、
a,bが満たすべき条件(関係式)を求めよ。

という問題だったら解けるでしょうか？
これが答えられたら、
今度はその条件を満たすようなさいころの目の出方を
考えるステップに進むことができます。

補足欄にできるところまで書いてみることをおすすめします。

回答No.1

ti-zu

まず、さいころの目の出方は６の三乗の２１６通りです。
次にＸ＋Ｙ＋Ｚは３、４，５，６になります。１、２は作れませんから。
和が４になる場合　１，１，２が出た時なので、３！／２！＝３通り
和が３になる場合　１，１，１が出た時なので、１通り
和が５になる場合　１，２，２が出た時なので、３！／２！＝３通り
　　　　　　　　　１，１，３もありますから　３！／２！＝３通り
同様に
和が６になる場合　１，１，４　３通り
　　　　　　　　　１，２，３　３！＝６通り
　　　　　　　　　２，２，２　１通り
以上を全部足すと２０通りになります。
よって２０／２１６で答えは５／５４となります。
１番のみの回答ですが役立ててください！頑張ってくださいね！

お礼

ありがとうございます！！
とってもわかりやすいです。
問題の補足として答えを書いておきます。
１の答え：5/54
２の答え：（1）1/12 (2)1/4