色を塗る問題

質問

順列の問題で

立方体に６色塗るときは
上面を固定して５×（４－１）！＝３０通り

直方体に６色塗るときは
６×５×（４－１）！÷２＝９０通り

立方体はなぜ上面を固定するのでしょうか？
直方体はなぜ上面を固定しないのでしょうか？

回答よろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＜立方体＞
最初の１色を塗る面は６通り。最初の１色を塗った面を上面とします。
下面の色は、５通り。
４つの側面の色は、３つを決めれば残りの面の色は決まるので、（４－１）！
よって、塗り方は、６×５×（４－１）！　通りがありそうに思えます。
ところが、立方体は、どの面も平等なので、ころがして６色のうちのある１色、たとえば赤を上面に持ってくると、上面に塗る最初の１色が赤であったのと同じ状況になります。
つまり、最初の１色はどの面に塗っても良いのですが、最初に塗った面を基準にして他の面の場所を考えるという考えかたをすれば、６通りではなく１通りであることに気づきます。
よって、６×５×（４－１）！　を６で割らないといけません。
これは、上面を固定したのと同じことになります。

＜直方体＞
直方体の面は平等ではありません。
ですから、　６×５×（４－１）！　になりそうです。
ただし、直方体には向かい合う２つの面がそれぞれ合同であるという特徴があります。
よって、１８０度回転して同じになるダブりを除かなくてはいけません。
ですから、６×５×（４－１）！　を　２で割ります。

回答No.2

arrysthmia

色を塗る前の立方体の、あるひとつの面に、
対称性のない図形（例えばＲとか）が書いてあった
と思ってみましょう。

立方体を、回転させて元の輪郭の中に置き直すやりかたは、
Ｒのある面の位置で６通り、その面内でのＲの向きで４通り、
計６×４通りあります。

空間に固定した立方体の各面を、６色の異なる色で塗る
やり方は、６！通り。

その内、塗り終わった立方体を回転して置き直すことで
一致してしまうものが、各６×４個づつあるのですから、
空間に固定されていない立方体を塗るやりかたは、
６！÷(６×４)通り。これは、５×(４－１)！と同じ値です。

この解法で、立方体を回転させる代わりに、見ている人の位置のほうを
Ｒの書いてある面の正面に固定して考えれば、
「上面を固定して」という説明になると思います。

三辺が異なる直方体の場合は、
回転させて元の輪郭の中に置き直すやりかたが、
各辺方向を軸とした１８０°回転の組み合わせ２×２×２通りですから、
同様に考えて、色の塗り方は６！÷(２×２×２)通り。

「上面を固定しない」解法は、よくわかりません。