立方体６面を違う色で塗る順列と組み合わせの数
- 立方体の６面を違う色で塗る塗り方は何通りあるか、という問題です。
- 模範解答では、１面を定め、その対面の塗り方は５通り、側面の塗り方は円順列で (４-１)! 通りとして、計算しました。
- 他の解き方として、側面の色の選び方を６Ｃ４、円順列を (４-１)!、上下の面の塗り方を２Ｐ２と考えることもできます。
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立方体 ６面を違う色で塗る順列
立方体の6面を違う色で塗る塗り方は何通りあるか、という問題で、模範解答は、「1面を定め、その対面の塗り方は5通り、側面の塗り方は円順列で(4-1)!通り、∴5×(4-1)!=30 30通り」と書いてありました。 この求め方はもっとも簡潔だと思うのですが、私は、他の解き方はないのか…と考えました。 そこで、私が考えたのは「側面の色の選び方6Ｃ4、円順列(4-1)!、上下の面の塗り方2Ｐ2、6面あるので6個かぶる、∴6Ｃ4×(4-1)!×2Ｐ2÷6=30 30通り」です。 １：私の解き方に間違いがあったら指摘してください。 ２：この問題の他の解き方があったら教えてください。 よろしくお願いしますm(__)m
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> ２：この問題の他の解き方があったら教えてください。 側面も上下面も区別しないで考えてみます。 6面の塗り方は6!通り 回転させて重複するのが6×4通り なので求める場合の数は6! / (6 × 4)通り
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- R_Earl
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ANo.1です。 > ところで、６×４通りとはどの部分を言うのでしょうか？ 6!通りの色を塗った立方体の中で、重複するものを探すことを考えます。 まず立方体を、ある特定の色(例えば赤)が底面にくるように回転させることを考えます。 回転のさせ方は、あらかじめ決めておきます。 赤が底面にくるように回転させただけで、6つの立方体が同じものなります。 この6つの立方体を1グループと考えると、グループ数は6! / 6通りとなります。 さらに今度は、底面の中心を通る垂線を軸に回転させることを考えます。 この時4つのグループが同じものになります。 この4つのグループ(立方体は6×4個)が『同じ色の塗り方』になるので 重複する立方体を除いた場合の色の塗り方は6! / (6 × 4)通りとなります。
お礼
再びありがとうございます＾＾ 良く分かりました。
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