正多面体の面には何通り色が塗れる

質問

例えば正四面体があって、それに面の数だけ色を塗り分けるとすると、
仮に面Aを底面とすると、残りの面B,面C,面Dは数珠計算の要領で、
3P3/3=2通り
さらに正四面体なので
{4×(3P3/3)}/4
=2通り の塗り方があることになります。

立方体だと側面は
4P4/4=6通り
同様にして
{6×5×(4P4/4)}/6
=5×6
=30通り となります。

同じように考えていくと、正八面体は
{8P4/4×4!/4}/8
=(420×6)/8
=2520/8
=315通りでいいんでしょうか。

また、正十二面体と正二十面体ではどう考えればいいんでしょう。
全く分からないので分かる方お願いします。

回答No.1

jokyoju · ベストアンサー

正多角形の面を
1底面
2底面に線で接する面
3上記以外の面
に分類して考えます。

正４面体の場合
1底面は　1面
2底面に線で接する面　3面
3上記以外の面　0面
底面を固定して考えると円順列で
3!/3＝2

正６面体の場合
1底面は　1面
2底面に線で接する面　4面（底面が正方形のため）
3上記以外の面　1面
底面を固定して考えると
3は　5Ｐ1＝5
2は円順列で4!/4＝6
だから5*6＝30（5!/4）

正8面体の場合
1底面は　1面
2底面に線で接する面　3面（底面が正三角形のため）
3上記以外の面　4面
底面を固定して考えると
3は　7Ｐ4＝840
2は円順列で3!/3＝2
だから　840*2＝7!/3＝1680

正12面体の場合
1底面は　1面
2底面に線で接する面　5面（底面が正五角形のため）
3上記以外の面　6面
11Ｐ6*5!/5＝11!/5＝7983360

正20面体の場合
1底面は　1面
2底面に線で接する面　3面（底面が正三角形のため）
3上記以外の面　16面
19Ｐ16*3!/3＝19!/5

結局
底面を固定すると多面体の面数-１の階乗となり
円順列の要領で重複分を考慮すれば
重複分は底面に線で接する面の数だけあるので
その面数でわればよいのでは、

お礼

早めの回答ありがとうございます。
そうですね。底面は固定して重複分の面で割ってしまえばいいんですね。
分かりやすい解説をありがとうございました。