場合の数 【サイコロに色を塗る方法は何通り？】

質問

公務員試験勉強をはじめ、場合の数に入ったのですが立方体への色の塗り分けの問題がわかりません。どうかご教授お願いします。

立方体の表面を異なる3色でそれぞれ2面ずつ塗り分ける方法は何通りあるか。ただし立方体の向きを変えた時に同じとなるものは1通りと数える。

回転して同じものは省くって所でいつも混乱してしまいます・・

回答No.5

noname#102340 · ベストアンサー

サイコロで考える。
１が上、２が手前左、３が手前右に見えていると考えると分かりやすい(４５６の位置はそれで決まる)。
３色は何でもいいけどここではＲ、Ｂ、Ｇにする。
同色が対面している色の数で場合分けする。

３色全部　　１通り
２色だけ　　０通り
１色だけ　　３通り

０色の場合(同じ色どうしは対面していない)はとりあえず同じ色が隣り合っているのでここではＲをサイコロの１，２の面に塗ってしまう。
残りの４つの面をＢとＧで塗る。塗り方は以下の４通り。３４は対面しているので同色では塗れないことに注意。

３４５６
--------
ＢＧＢＧ　(1)
ＢＧＧＢ　(2)
ＧＢＢＧ　(3)
ＧＢＧＢ　(4)

しかし、サイコロを回転させて１と２の面(ともにＲ)を交換して同じになるものは省かないといけない。
そこで、１と２の面を交換する回転を１個決める。
(サイコロを上から見て左に90度回転する、みたいにある方向から見て回転していき、その順番を覚えておき１面ずつ回転していくと下のような変換表を作れる)

１２　３４　５６
↓↓　↓↓　↓↓　　回転
２１　４３　６５

になるのが分かる。(１⇔２を交換するどの回転も３⇔４、５⇔６)
したがって、その回転で(1)＝(4)になるし、(2)＝(3)になるので同色の対面なしの塗り方は２通りである。

お礼

図を用いていないのに　凄く分かりやすかったです！
色が対になるように場合分けをする方法や、回転させて同じ模様を省く方法など凄くわかり易かったです！ありがとうございました

回答No.4

gohtraw

＃１です。同色の隣接なしと思いこんでしまいました。済みません。

お礼

わざわざ　補足までありがとうございました！

回答No.3

nag0720

＃２です。すみません、訂正です。

１色だけ裏面どうしの場合は、色の違いがありましたから、３通りです。

なので、合計８通りでした。

お礼

他の方の意見で試すと、全ての色が隣同士は2通りの気がします；
しかし、対になるパターンで場合分けなど大変参考になりました　
ありがとうございました！

回答No.2

nag0720

まずは、同色の位置関係で場合分けしましょう。
同色の位置関係は、隣り合っているか、裏面どうしにあるかです。

３色とも裏面どうしにある場合は、１通り。
２色だけ裏面どうしというのはありえないので、０通り。
１色だけ裏面どうしの場合は、１通り。
全て隣り合っている場合は、１つの色を底面と背面に置いて考えれば、
「上面と左面、前面と右面」、「上面と右面、前面と左面」というパターンで、
それぞれ色を交換できるので、計４通り。

以上から、６通りです。

回答No.1

gohtraw

頂点を共有する３つの面を考えます（サイコロのひとつの頂点に集まっている３つの面です）。この３面をＡ、Ｂ、Ｃの３色で塗り分ける方法は、時計回りにＡ→Ｂ→Ｃか、Ａ→Ｃ→Ｂの二通りしかありません。残りの３面は、上記の３面の色が決まれば決まってしまいます（丁度裏側にある面と同じ色）。