証明

質問

１+2分の１+3分の１....+ｎ分の１≧（ｎ+１）分の２ｎ
を証明せよ。（nは自然数のとき）
数学的帰納法を使う証明らしいのですが、答えをみてもよく計算の仕方がわかりません。
詳しい解説、解くに計算のところをお願いします。

回答No.1

himajin100000

１+2分の１+3分の１....+ｎ分の１≧（ｎ+１）分の２ｎ

以下数学的帰納法により題意が成立することを示す示す。

i)1>= 2/2 = 1より n = 1の時、題意を満たす

ii)n = kにおいて題意が満たされる，
つまり
1+1/2+1/3....+1/k≧2k/(k+1)
が成り立つと仮定する時
1+1/2+1/3....+1/k + 1/(k+1)≧2k/(k+1) + 1/(k+1)
1+1/2+1/3....+1/k + 1/(k+1)≧ (2k + 1)/(k+1)

ここで
(2k + 1)/(k + 1) - 2(k + 1)/(( k + 1) + 1)
= (2k + 1)/(k + 1) - 2(k + 1)/(k + 2)
= ((k + 2)(2k + 1) - 2(k + 1)(k + 1) )/((k + 2)(k + 1))
= ((2k^2 + 5k + 2) - (2k^2 + 4k + 2) )/ ((k + 2)(k + 1))
= k / ((k + 2)(k + 1))

仮定よりk > 0で
k / ((k + 2)(k + 1)) > 0
だから
(2k + 1)/(k + 1) - 2(k + 1)/(( k + 1) + 1) > 0
で
(2k + 1)/(k + 1) > 2(k + 1)/(( k + 1) + 1)

したがって

1+1/2+1/3....+1/k + 1/(k+1)≧ (2k + 1)/(k + 1 ) > 2(k + 1)/(( k + 1) + 1)

k + 1の時も満たされる。

i) ii)より数学的帰納法より

n >= 1以上において題意は成立する

補足

1+1/2+1/3....+1/k + 1/(k+1)≧2k/(k+1) + 1/(k+1)
この辺の計算がよくわかりません。
後、分数のときは～分の～とやってくれるとありがたいです。