マクローリン展開

質問

log(1+x)のマクローリン展開は参考書に載っていたのでわかるのですが、logxやlog(1+x+x^2)やlog2xなどのマクローリン展開はどのようにするのでしょうか。

回答No.5

KappNets

No.2 です。ln(x)/xは展開では難しそうです。（変数変換をよく考えれば出来るかも知れません）log10(10^n)=nですからn<<10^nということで、ゼロに収束することは容易に推察されるということで納得します。
(注) 変数変換と言ってもx=1+yではダメです。ln(1+y)が展開出来るのはyが小さい時に限られるからです。x=1+1/yで出来るとよいのですが、このケースはうまくいきません。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

koko_u_

>lim(x→∞) (logx/x)　を求めるにはマクローリン展開を使わずに解くのでしょうか。
マクローリン展開は x = 0 に近い値の振舞いを示しています。当然 x -> ∞ の考察には使えません。

そして上の問題はすぐに 0 とわかる。適当に log(x) の増加傾向を評価するだけ。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

Willyt

logx の展開は x=1+y と置いてやればいいのです。ただしＸ＝０を起点としたテイラー展開は不可能ですよ。何故なら log0 は不能だからです。起点を０以外に取るといいのです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

KappNets

正規の方法は数学の参考書を見て頂くとして（今私の座右にないので記憶に頼って書きますと）マクローリン展開の係数は当該関数の微分を泥臭く繰り返すと求めることが出来ます。
log(1+x)=a0+a1*x+a2*x^2+...
と書き、微分すると
1/(1+x)=a1+2*a2*x+...
となります。x=0を代入するとa1=1となりますね。こんなことで求まります。

log(1+x+x^2)はlog(1+y), y=x+x^2と考えることが出来ます。log(1+y)を展開しておいてy=x+x^2を代入するという考え方でもおそらく出来るかと思います。答えを書いておくと
log(1+x+x^2)=x+x^2/2-x^3*(2/3)+x^4/4+x^5/5+...

logx, log2xの展開は出来ません。でもどうしてもやりたいことはあります。その時はなんとか工夫して展開出来る形に変形します。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

ありがとうございます。とても参考になりました。

では　lim(x→∞) (logx/x)　を求めるにはマクローリン展開を使わずに解くのでしょうか。

回答No.1

koko_u_

>マクローリン展開はどのようにするのでしょうか。
必要に応じて自分で計算する。

お礼

ご回答ありがとうございました。