テーラー展開（マクローリン展開）について
テーラー展開についての質問です。
問題===============================================
1/cos x のx=0を中心とするテーラー展開を4次の項まで求めよ。
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この問題の解答例として、以下のような解説があったのですが、
わからない点が有ります。
<解答例>
cos x のマクローリン展開は、
cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! + … ( |x| < + ∞）であるから、
1/cos x = 1/( 1 - x^2/2! + x^4/4! + …)
ここで、
1/(1 - x) のマクローリン展開が
Σ{n=0→+∞} x^n で与えられるので、
これを利用して、
1/cos x
= 1 + (x^2/2! - x^4/4! +…) + (x^2/2! - x^4/4! + … )^2 + … ー(1)
= 1 + x^2/2 + 5x^4/25 +… ー(2)
となる。
ここで疑問なのは、
1/(1 - x) のマクローリン展開は、|x|<1 の条件が成り立つ時に限り収束するので、
適用できるわけじゃないですか？
(1)から(2)のような形にする場合に、
|(x^2/2! - x^4/4! +…)| < 1 となっていないのに、このような展開をしてもいいのでしょうか？
具体的には、cos x は xの値によって -1 <= cos x <= 1 まで取り得るので、
cos x のマクローリン展開の初項が1ということは、
それ以下の項の和がxの値次第で -2程度になることも考えられると思うので
このような展開をしてはいけないと思うのです。
当方 テーラー展開についてよく熟知していないため、
ご指導お願いします。
