98年センター過去問IIＢ大問1の［2］

質問

こんにちは、
1998年の、数学IIBのセンター試験過去問を解いています。http://www.densu.jp/center/98center2bprob.pdf
大問1の[2]の（２）の問題なんですが、合成して、
f（θ）＝√6ｃｏｓθ＋√2ｓｉｎθ
条件より、0°≦θ≦90°より、
60°≦θ＋60°≦150°　から
－√3／2≦ｓｉｎ（θ＋60°）≦2√２
より、θ＋60°=150°つまりθ=90°で最小値は単位円より、一番小さい値の－√3／2だと思ったのですが、答えは√2になっていました。
どうして、単位円を書くと、値が小さい－√3／2ではだめなんですか？
私の考え方って、ぜんぜん違うのですか？？
回答お願いします…

回答No.3

noname#47894 · ベストアンサー

> 私もｃｏｓの合成をすると回答にあったので、びっっくりして、

√6ｃｏｓθ＋√2ｓｉｎθ
＝2√2｛1/2・ｓｉｎθ＋√3/2・ｃｏｓθ｝
＝2√2｛ｃｏｓ（π／3）ｓｉｎθ＋ｓｉｎ（π／3）ｃｏｓθ｝
＝2√2ｓｉｎ（θ＋π／3）　（加法定理より）

同様に
√2ｃｏｓθ－√6ｓｉｎθ
＝2√2｛1/2・ｃｏｓθ－√3/2・ｓｉｎθ｝
＝2√2｛ｃｏｓ（π／3）ｃｏｓθ－ｓｉｎ（π／3）ｓｉｎθ｝
＝2√2ｃｏｓ（θ＋π／3）　（加法定理より）

合成公式っていうのは、加法定理を逆に（まとめる方向に）使っているだけなので、そこを理解すれば、自由に計算できるようになります（公式を覚えれば済むことですが）。

なお、ｓｉｎの合成から、
√2ｃｏｓθ－√6ｓｉｎθ＝－2√2ｓｉｎ（θ－π／6）
とした後、公式　sin（θ）＝－cos（θ＋π/2）　を使えば、
－2√2ｓｉｎ（θ－π／6）＝2√2ｃｏｓ（θ＋π／3）
がいえます。cosの合成公式を知らなくても、これで導けます。

> 私の学校の先生方は、ｓｉｎでないと合成はできないといっていました

それは嘘です。教えなくてもよいことにはなっていると思いますが...
今では、sinによる合成公式の方だけを教える傾向にありますが、参考書によってはきちんと扱っているものもあります。いずれにせよ、加法定理から導けることを確認してみてください。
（ひょっとすると若い先生だと、本当に知らないのかもしれないが...）

老婆心ながら、1998年の問題では、弧度法（ラジアン）を数学IIで扱わないことになっていましたが、2006年以降では、弧度法が数学IIIから数学IIに移行していますので、必ず弧度法で解けるようにしておいてください。

回答No.2

noname#46750

三角関数の合成(sinとcos→cos)の公式は
http://www.suriken.com/knowledge/glossary/composition.html
に載っています。

三角関数の合成の公式の導き方は
http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/kousiki/sankaku2.html
に載っています。

これを使えばできると思います。

回答No.1

noname#47894

>　私の考え方って、ぜんぜん違うのですか？？

まず、合成公式が正しく使えていないようですが、
f（θ）＝2√2sin(θ＋60°)
2√2　という部分を無視してはいけません。

それから、sin　と　cos　について、正確に記憶していないのかも知れませんが、
60°≦θ＋60°≦150°
から、
１／2≦ｓｉｎ（θ＋60°）≦１
です。

後は、自分でどうぞ。

補足

合成した式が、与式のままでしたね…すみません。
そうですね、ｓｉｎ、ｃｏｓの値を間違えて書いていました。この問題はわかりました。ありがとうございました。

ところで、この問題のあとの、大問1の［2］の（３）ではｃｏｓの合成をしていますが、私の学校の先生方は、ｓｉｎでないと合成はできないといっていました。私もｃｏｓの合成をすると回答にあったので、びっっくりして、全然わかりません。教えていただけませんか？